Sabendo que |u|=2,|v|=3 e u cdot v=-1, calcular:
Calcule (u+v) cdot(nu-4 v).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá dois vetores, u e v, com magnitudes |u| = 2 e |v| = 3, e o produto escalar entre eles é u cdot v = -1. A gente precisa calcular o produto escalar de (u + v) com (u - 4v). Para resolver isso, vamos usar as propriedades do produto escalar e fazer algumas operações básicas com vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores é distributivo. Isso significa que:
(a + b) cdot (c + d) = a cdot c + a cdot d + b cdot c + b cdot d
Então, aplicando isso ao nosso caso:
(u + v) cdot (u - 4v) = u cdot u - 4u cdot v + v cdot u - 4v cdot v

Passo 3

Agora, vamos calcular cada uma dessas partes separadamente. Sabemos que o produto escalar de um vetor consigo mesmo é o quadrado da sua magnitude, ou seja:
u cdot u = |u|^2 = 2^2 = 4
E:
v cdot v = |v|^2 = 3^2 = 9
Também sabemos que u cdot v = -1, e como o produto escalar é comutativo ( u cdot v = v cdot u), temos:
v cdot u = -1

Passo 4

Substituindo esses valores na expressão que obtivemos:
(u + v) cdot (u - 4v) = 4 - 4(-1) + (-1) - 4(9)

Passo 5

Vamos simplificar passo a passo:
  1. 4 - 4(-1) = 4 + 4 = 8
  2. 8 + (-1) = 7
  3. 7 - 4(9) = 7 - 36 = -29

Resposta

O valor de (u + v) cdot (u - 4v) é -29.

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