Resolva os sistemas utilizando Regra de Cramer.
c2 x+2 y+4 z=0 3 x+5 y+8 z=0 5 x+25 y+20 z=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a Regra de Cramer. O sistema que temos é:
2x + 2y + 4z = 0 3x + 5y + 8z = 0 5x + 25y + 20z = 0
A Regra de Cramer é uma técnica que nos ajuda a encontrar as soluções de sistemas lineares usando determinantes. Para isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz dos coeficientes e os determinantes das matrizes substitutas para cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes e calcular seu determinante D = 2 & 2 & 4 3 & 5 & 8 5 & 25 & 20 .
D = 2(5 times 20 - 8 times 25) - 2(3 times 20 - 8 times 5) + 4(3 times 25 - 5 times 5)
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus:
D = 2(100 - 200) - 2(60 - 40) + 4(75 - 25) D = 2(-100) - 2(20) + 4(50) D = -200 - 40 + 200 D = -40
Calculando passo a passo:
Então, o determinante .

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante Dx = 0 & 2 & 4 0 & 5 & 8 0 & 25 & 20 , que é a matriz dos coeficientes com a coluna dos substituída pelos termos constantes (no caso, todos são 0).
Calculando :
Como a primeira coluna está toda zerada, o determinante .

Passo 4

Vamos calcular o determinante Dy = 2 & 0 & 4 3 & 0 & 8 5 & 0 & 20 , onde substituímos a coluna dos pelos termos constantes:
Novamente, a segunda coluna está toda zerada, então .

Passo 5

Por último, calculamos o determinante Dz = 2 & 2 & 0 3 & 5 & 0 5 & 25 & 0 , substituindo a coluna dos pelos termos constantes:
Assim como antes, a terceira coluna está toda zerada, então .

Passo 6

Agora, aplicamos a Regra de Cramer para encontrar as soluções:
x = DxD = 0-40 = 0 y = DyD = 0-40 = 0 z = DzD = 0-40 = 0

Resposta

A solução do sistema é , e .

Exercícios relacionados