Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(k) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os autovalores e autovetores da transformação linear definida por . Além disso, se existirem, precisamos determinar o autoespaço generalizado. Vamos utilizar conceitos de álgebra linear, como matrizes, determinantes e sistemas lineares, para chegar à solução.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear como uma matriz. Para isso, identificamos como cada componente de se relaciona com , e :
Essa é a matriz que representa .
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovalores de . Para isso, resolvemos a equação característica:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Passo 4
Calculando :
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.
Passo 5
Calculando o determinante:
Simplificando:
Continuando a simplificação:
Então, a equação característica é:
Multiplicando todos os termos por -1 para simplificar:
Passo 6
Vamos resolver a equação cúbica . Tentamos encontrar raízes racionais utilizando o teorema das raízes racionais. Testando :
Então, é uma raiz. Agora, podemos fatorar a equação:
O polinômio quadrático pode ser fatorado como:
Então, os autovalores são com multiplicidade 3.
Passo 7
Agora que sabemos que o único autovalor é , vamos encontrar os autovetores associados a esse autovalor resolvendo:
Onde é:
Passo 8
Vamos resolver o sistema:
Podemos simplificar as equações:
Da terceira equação, . Substituindo nas primeiras:
Logo, temos , ou seja, . E .
Então, os autovetores são múltiplos de .
Passo 9
Como o autovalor tem multiplicidade 3, mas encontramos apenas uma direção de autovetor, precisamos encontrar o autoespaço generalizado. Para isso, buscamos vetores que satisfazem .
Calculando :
Isso indica que todo vetor no espaço é parte do autoespaço generalizado. Portanto, a cadeia generalizada tem dimensão 3.
Resposta
Os autovalores de são com multiplicidade 3. O autovetor associado é qualquer múltiplo de . O autoespaço generalizado é todo o espaço .