Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(k) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os autovalores e autovetores da transformação linear definida por . Além disso, se existirem, precisamos determinar o autoespaço generalizado. Vamos utilizar conceitos de álgebra linear, como matrizes, determinantes e sistemas lineares, para chegar à solução.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear como uma matriz. Para isso, identificamos como cada componente de se relaciona com , e :
Essa é a matriz que representa .
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Para isso, resolvemos a equação característica:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Multiplicando todos os termos por -1 para simplificar:
lambda^3 - 3lambda^2 + 3lambda -1 = 0
Passo 6
Vamos resolver a equação cúbica 1 -3 +3 -1 =0 . Tentamos encontrar raízes racionais utilizando o teorema das raízes racionais. Testando (lambda -1)(lambda^2 - 2lambda +1) =0 :
(lambda -1)^2 =0
Então, é uma raiz. Agora, podemos fatorar a equação:
O polinômio quadrático pode ser fatorado como:
Então, os autovalores são com multiplicidade 3.
Passo 7
Agora que sabemos que o único autovalor é (A - I)v = 0 , vamos encontrar os autovetores associados a esse autovalor resolvendo:
A - I = 2 & 2 & -1 -3 & -3 & 2 -1 & -1 &1
Onde é:
Passo 8
Vamos resolver o sistema:
2x + 2y - z =0 -3x -3y +2z =0 -x - y + z =0
Podemos simplificar as equações:
Da terceira equação, . Substituindo nas primeiras:
Logo, temos , ou seja, . E .
Então, os autovetores são múltiplos de .
Passo 9
Como o autovalor (A - I)^2 = 2 & 2 & -1 -3 & -3 &2 -1 & -1 &1 ^2 = 0 &0 &0 0 &0 &0 0 &0 &0 tem multiplicidade 3, mas encontramos apenas uma direção de autovetor, precisamos encontrar o autoespaço generalizado. Para isso, buscamos vetores que satisfazem .
Calculando :
Isso indica que todo vetor no espaço é parte do autoespaço generalizado. Portanto, a cadeia generalizada tem dimensão 3.
Resposta
Os autovalores de são com multiplicidade 3. O autovetor associado é qualquer múltiplo de . O autoespaço generalizado é todo o espaço .