Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de T em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(k) T(x, y, z)=(3 x+2 y-z,-3 x-2 y+2 z,-x-y+2 z).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os autovalores e autovetores da transformação linear definida por . Além disso, se existirem, precisamos determinar o autoespaço generalizado. Vamos utilizar conceitos de álgebra linear, como matrizes, determinantes e sistemas lineares, para chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear A = 3 & 2 & -1 -3 & -2 & 2 -1 & -1 & 2 como uma matriz. Para isso, identificamos como cada componente de se relaciona com , e :
Essa é a matriz que representa .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Para isso, resolvemos a equação característica:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 4

Calculando A - lambda I = 3 - lambda & 2 & -1 -3 & -2 - lambda & 2 -1 & -1 & 2 - lambda :
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 5

Calculando o determinante:
det(A - lambda I) = (3 - lambda)[(-2 - lambda)(2 - lambda) - (2)(-1)] - 2[-3(2 - lambda) - 2(-1)] -1[-3(-1) - (-2 - lambda)(-1)]
Simplificando:
det(A - lambda I) = (3 - lambda)[( -2 - lambda)(2 - lambda) + 2] - 2[-3(2 - lambda) + 2] -1[3 - (2 + lambda)]
Continuando a simplificação:
det(A - lambda I) = (3 - lambda)(lambda^2 + 0lambda -2) - 2(-6 + 3lambda + 2) -1(1 - lambda)
= (3 - lambda)(lambda^2 - 2) + 2(6 - 3lambda -2) -1 + lambda
= (3 - lambda)(lambda^2 - 2) + 2(4 - 3lambda) -1 + lambda
= 3lambda^2 -6 - lambda^3 + 2lambda +8 -6lambda -1 + lambda
= -lambda^3 + 3lambda^2 -3lambda +1
Então, a equação característica é:
-lambda^3 + 3lambda^2 -3lambda +1 = 0
Multiplicando todos os termos por -1 para simplificar:
lambda^3 - 3lambda^2 + 3lambda -1 = 0

Passo 6

Vamos resolver a equação cúbica 1 -3 +3 -1 =0 . Tentamos encontrar raízes racionais utilizando o teorema das raízes racionais. Testando (lambda -1)(lambda^2 - 2lambda +1) =0 :
(lambda -1)^2 =0
Então, é uma raiz. Agora, podemos fatorar a equação:
O polinômio quadrático pode ser fatorado como:
Então, os autovalores são com multiplicidade 3.

Passo 7

Agora que sabemos que o único autovalor é (A - I)v = 0 , vamos encontrar os autovetores associados a esse autovalor resolvendo:
A - I = 2 & 2 & -1 -3 & -3 & 2 -1 & -1 &1
Onde é:

Passo 8

Vamos resolver o sistema:
2x + 2y - z =0 -3x -3y +2z =0 -x - y + z =0
Podemos simplificar as equações:
Da terceira equação, . Substituindo nas primeiras:
Logo, temos , ou seja, . E .
Então, os autovetores são múltiplos de .

Passo 9

Como o autovalor (A - I)^2 = 2 & 2 & -1 -3 & -3 &2 -1 & -1 &1 ^2 = 0 &0 &0 0 &0 &0 0 &0 &0 tem multiplicidade 3, mas encontramos apenas uma direção de autovetor, precisamos encontrar o autoespaço generalizado. Para isso, buscamos vetores que satisfazem .
Calculando :
Isso indica que todo vetor no espaço é parte do autoespaço generalizado. Portanto, a cadeia generalizada tem dimensão 3.

Resposta

Os autovalores de são com multiplicidade 3. O autovetor associado é qualquer múltiplo de . O autoespaço generalizado é todo o espaço .

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