Determine o domínio das seguintes funções reais: g(x) = (4 x^3 + 2 x) / raiz(3 x^2 - 3 x - 60)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio da função . Aqui, estamos trabalhando com funções reais e precisamos entender o que é domínio de uma função. O domínio são todos os valores de que fazem a função valer um número real válido. Para resolver isso, vamos verificar as condições que a função precisa obedecer para estar bem definida.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração, que é . Sabemos que a raiz quadrada só está definida para números não negativos, ou seja, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero. Além disso, o denominador não pode ser zero, porque não podemos dividir por zero.

Passo 3

Então, precisamos resolver a inequação para garantir que a expressão dentro da raiz seja positiva. Vamos simplificar essa inequação dividindo todos os termos por 3:

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação quadrática para encontrar os pontos onde a expressão muda de sinal. Usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá as soluções e .

Passo 5

Com as raízes encontradas, vamos dividir a linha dos números reais em intervalos: , e . Vamos testar um valor em cada intervalo para ver onde a inequação é verdadeira.
  • Para , vamos testar :
  • Para , vamos testar :
  • Para , vamos testar :

Passo 6

Com isso, vimos que a inequação é verdadeira para e . Portanto, o domínio da função são todos os números reais menores que -4 e maiores que 5.

Resposta

O domínio da função é .

Exercícios relacionados

Justifique a continuidade das funções abaixo.
a) f(x) = e^x * sen(5 x).
13.) sumn=1^infty cos (n pi)n raizn
Considerando f(x)=3 x^2+5 x, calcule lim h 0 f(x+h)-f(x)h.
Seja f a função definida por f(x)=l3 x-1, se x <= 2 x^2-16x-4, se 2= 4 Calcule lim x 4^- f(x).