Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio da função . Aqui, estamos trabalhando com funções reais e precisamos entender o que é domínio de uma função. O domínio são todos os valores de que fazem a função valer um número real válido. Para resolver isso, vamos verificar as condições que a função precisa obedecer para estar bem definida.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração, que é . Sabemos que a raiz quadrada só está definida para números não negativos, ou seja, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero. Além disso, o denominador não pode ser zero, porque não podemos dividir por zero.
Passo 3
Então, precisamos resolver a inequação para garantir que a expressão dentro da raiz seja positiva. Vamos simplificar essa inequação dividindo todos os termos por 3:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação quadrática para encontrar os pontos onde a expressão muda de sinal. Usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá as soluções e .
Passo 5
Com as raízes encontradas, vamos dividir a linha dos números reais em intervalos: , e . Vamos testar um valor em cada intervalo para ver onde a inequação é verdadeira.
Para , vamos testar :
Para , vamos testar :
Para , vamos testar :
Passo 6
Com isso, vimos que a inequação é verdadeira para e . Portanto, o domínio da função são todos os números reais menores que -4 e maiores que 5.