Justifique a continuidade das funções abaixo.
a)
.
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função
e a pergunta é para justificar se essa função é contínua. Vamos precisar entender o que é continuidade na matemática e saber quais funções básicas são contínuas. Além disso, vamos ver como operações entre funções contínuas, como multiplicação, também mantêm a continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua. Basicamente, uma função é contínua se a gente consegue desenhá-la sem levantar o lápis do papel. Mais tecnicamente, para todo valor de
, o limite de
quando
se aproxima de algum ponto
é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Isso garante que não tem “saltos” ou “buracos” no gráfico da função.
Passo 3
Agora, vamos analisar as partes da nossa função
. Temos duas funções:
-
- a função exponencial. -
- a função seno, multiplicada por 5.
Sabemos que tanto a função exponencial quanto a função seno são funções contínuas em todo o seu domínio, que nesse caso é todo número real.
Passo 4
Além disso, é importante lembrar que a multiplicação de duas funções contínuas também resulta em uma função contínua. Isso é uma regra básica de continuidade: se
e
são contínuas, então
também é contínua.
Passo 5
Aplicando essa regra à nossa função, já que
é contínua e
é contínua, a multiplicação dessas duas funções, que é exatamente
, também deve ser contínua em todo lugar onde ambas são contínuas.
Passo 6
Finalmente, como
e
são contínuas para todo
real, a função
é contínua para todo
real também.
Resposta
A função
é contínua para todo
real.
Exercícios relacionados
13.)
(2,0 pts) Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial
para mover uma partícula sobre a curva C arbitrária que liga o ponto
ao ponto
.
Determine
domínio das seguintes funções reais:
Considerando
, calcule
.