Justifique a continuidade das funções abaixo.
a) f(x) = e^x * sen(5 x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função e a pergunta é para justificar se essa função é contínua. Vamos precisar entender o que é continuidade na matemática e saber quais funções básicas são contínuas. Além disso, vamos ver como operações entre funções contínuas, como multiplicação, também mantêm a continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua. Basicamente, uma função é contínua se a gente consegue desenhá-la sem levantar o lápis do papel. Mais tecnicamente, para todo valor de , o limite de quando se aproxima de algum ponto é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Isso garante que não tem “saltos” ou “buracos” no gráfico da função.

Passo 3

Agora, vamos analisar as partes da nossa função . Temos duas funções:
  1. - a função exponencial.
  2. - a função seno, multiplicada por 5.
Sabemos que tanto a função exponencial quanto a função seno são funções contínuas em todo o seu domínio, que nesse caso é todo número real.

Passo 4

Além disso, é importante lembrar que a multiplicação de duas funções contínuas também resulta em uma função contínua. Isso é uma regra básica de continuidade: se e são contínuas, então também é contínua.

Passo 5

Aplicando essa regra à nossa função, já que é contínua e é contínua, a multiplicação dessas duas funções, que é exatamente , também deve ser contínua em todo lugar onde ambas são contínuas.

Passo 6

Finalmente, como e são contínuas para todo real, a função é contínua para todo real também.

Resposta

A função é contínua para todo real.

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