13.) sumn=1^infty 2^n+3-3^4+n5^n-2

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. Temos que calcular a soma infinita da série
sumn=1^infty 2^n+3 - 3^4+n5^n-2
Isso envolve séries geométricas e manipulação de potências para simplificar a expressão.

Passo 2

Vamos simplificar o termo geral da série. Primeiro, reescrevemos os termos com potências semelhantes:
2^n+3 - 3^4+n5^n-2 = 2^3 cdot 2^n - 3^4 cdot 3^n5^n-2 = 8 cdot 2^n - 81 cdot 3^n5^n-2

Passo 3

Agora, vamos dividir cada termo por 8 cdot 2^n5^n-2 - 81 cdot 3^n5^n-2 = 8 cdot 2^n cdot 5^2 - n - 81 cdot 3^n cdot 5^2 - n :
8 cdot 25 cdot (25)^n - 81 cdot 25 cdot (35)^n = 200 cdot (25)^n - 2025 cdot (35)^n
Simplificando as potências:

Passo 4

Agora, temos duas séries geométricas separadas:
200 sumn=1^infty (25)^n - 2025 sumn=1^infty (35)^n
Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita 200 cdot 251 - 25 - 2025 cdot 351 - 35 = 200 cdot 2535 - 2025 cdot 3525 = 200 cdot 23 - 2025 cdot 32 é igual a , desde que . Aplicando isso:

Resposta

Calculando os valores:
200 cdot 23 = 4003
2025 cdot 32 = 60752
Subtraindo as duas frações:
4003 - 60752 = 8006 - 182256 = -174256
Portanto, a soma da série é:
- 174256

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