3.)
Passo 1
Então, a gente tem que resolver a soma infinita
. Essa é uma série infinita, que faz parte do conteúdo de séries e sequências. Para resolver, vamos precisar entender sobre séries de termos gerais e usar técnicas de decomposição em frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série:
. A gente pode tentar escrever essa fração de uma forma mais simples usando frações parciais. A ideia é decompor
em uma soma de frações cujo denominador é mais fácil de somar.
Passo 3
Vamos decompor
. Para isso, observamos que
pode ser fatorado como
, mas como queremos manter os coeficientes reais, vamos procurar outra forma. Na verdade, podemos escrever:
No entanto, para facilitar, vamos usar outra abordagem. Vamos notar que:
Passo 4
Agora, reconhecemos que a derivada de
em relação a
é
. Portanto:
Passo 5
Integrando ambos os lados, temos que a soma da série pode ser relacionada a uma integral. No entanto, como estamos lidando com uma série infinita, precisamos usar propriedades de séries conhecidas. Existe uma fórmula conhecida para a soma dessa série:
Onde
é uma constante.
Passo 6
No nosso caso,
. Substituindo na fórmula, temos:
Resposta
A soma da série é
.