3.) sumn=1^infty nn^2+4

Passo 1

Então, a gente tem que resolver a soma infinita . Essa é uma série infinita, que faz parte do conteúdo de séries e sequências. Para resolver, vamos precisar entender sobre séries de termos gerais e usar técnicas de decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série: . A gente pode tentar escrever essa fração de uma forma mais simples usando frações parciais. A ideia é decompor em uma soma de frações cujo denominador é mais fácil de somar.

Passo 3

Vamos decompor nn^2+4 = A n + Bn^2+4 . Para isso, observamos que nn^2+4 = 12 cdot 2nn^2+4 pode ser fatorado como , mas como queremos manter os coeficientes reais, vamos procurar outra forma. Na verdade, podemos escrever:
No entanto, para facilitar, vamos usar outra abordagem. Vamos notar que:

Passo 4

Agora, reconhecemos que a derivada de nn^2+4 = 12 cdot ddn ln(n^2+4) em relação a é . Portanto:

Passo 5

Integrando ambos os lados, temos que a soma da série pode ser relacionada a uma integral. No entanto, como estamos lidando com uma série infinita, precisamos usar propriedades de séries conhecidas. Existe uma fórmula conhecida para a soma dessa série:
sumn=1^infty nn^2+a^2 = 12 ( pi coth(pi a) - 1a )
Onde é uma constante.

Passo 6

No nosso caso, sumn=1^infty nn^2+4 = 12 ( pi coth(2pi) - 12 ) . Substituindo na fórmula, temos:

Resposta

A soma da série é .

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