Calcular a integral de linha usanndo o Teorema de Green
ao longo do quadro de vérticies
e
, no sentido horário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral que a gente tem é:
Esse caminho
é um quadrado com vértices nos pontos
,
,
e
, e vamos percorrê-lo no sentido horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a área delimitada por essa curva. Vamos precisar identificar as funções
e
na integral dada e aplicar o teorema.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar
e
na integral. Na nossa integral de linha, temos:
Essas são as funções que vamos usar no Teorema de Green. O teorema nos diz que:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Em seguida, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green, temos:
Agora, precisamos calcular essa integral dupla sobre a área
do quadrado
.
Passo 5
Vamos configurar a integral dupla. Como estamos lidando com um quadrado de
de 0 a 1 e
de 0 a 1, a integral fica:
Vamos primeiro integrar em relação a
, mantendo
constante.
Passo 6
Integrando
em relação a
:
Passo 7
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Resposta
A integral de linha dada, calculada usando o Teorema de Green, é igual a 0.