Calcular a integral de linha usanndo o Teorema de Green
ointgamma[(e^x^2+y^2) d x+(x+raiz1+y^2) d y]
ao longo do quadro de vérticies A(0,0), B(1,0), C(1,1) e D(0,1), no sentido horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral que a gente tem é:
ointgamma[(e^x^2+y^2) dx + (x+raiz1+y^2) dy]
Esse caminho é um quadrado com vértices nos pontos , , e , e vamos percorrê-lo no sentido horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a área delimitada por essa curva. Vamos precisar identificar as funções e na integral dada e aplicar o teorema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar P(x,y) = e^x^2 + y^2 e Q(x,y) = x + raiz1 + y^2 na integral. Na nossa integral de linha, temos:
ointgamma [ P,dx + Q,dy ] = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Essas são as funções que vamos usar no Teorema de Green. O teorema nos diz que:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, a derivada parcial de partial Qpartial x = partialpartial x ( x + raiz1 + y^2 ) = 1 + 0 = 1 em relação a partial Ppartial y = partialpartial y ( e^x^2 + y^2 ) = 0 + 2y = 2y :
Em seguida, a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green, temos:
ointgamma [ P,dx + Q,dy ] = integral duplaD ( 1 - 2y ) dA
Agora, precisamos calcular essa integral dupla sobre a área do quadrado .

Passo 5

Vamos configurar a integral dupla. Como estamos lidando com um quadrado de integral duplaD ( 1 - 2y ) dA = integral0^1 integral0^1 ( 1 - 2y ) dy,dx de 0 a 1 e de 0 a 1, a integral fica:
Vamos primeiro integrar em relação a , mantendo constante.

Passo 6

Integrando integral0^1 ( 1 - 2y ) dy = [ y - y^2 ]0^1 = (1 - 1) - (0 - 0) = 0 em relação a :

Passo 7

Agora, integramos o resultado em relação a integral0^1 0,dx = 0 :

Resposta

A integral de linha dada, calculada usando o Teorema de Green, é igual a 0.

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