Obtenha a equação reduzida e identifique a quadrica: 6x^2 + 3y^2 + 2z^2 + 24x - 6y + 12z + 39 = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para simplificarmos a equação quadrática e identificar que tipo de superfície quadrática ela representa. Para isso, vamos usar completar o quadrado, que é uma técnica para simplificar equações quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos semelhantes:

Passo 3

Agora, vamos fatorar os coeficientes dos termos quadráticos para facilitar o processo de completar o quadrado:

Passo 4

Em seguida, completamos o quadrado para cada variável dentro dos parênteses. Lembre-se que para completar o quadrado de uma expressão , adicionamos e subtraímos .
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Substituímos essas expressões de volta na equação original:

Passo 6

Agora, distribuímos os coeficientes:

Passo 7

Vamos somar os constantes:
Então, a equação fica:

Passo 8

Adicionamos 6 em ambos os lados para isolar os termos quadráticos:

Passo 9

Por fim, dividimos todos os termos por 6 para obter a forma reduzida:

Resposta

A equação reduzida é:
E a quadrica representada por essa equação é uma elipsoide.

Exercícios relacionados