21.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a soma infinita:
Aqui, estamos lidando com séries infinitas e vamos precisar usar frações parciais para simplificar a expressão e facilitar a soma.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração
usando frações parciais. A ideia é decompor essa fração em termos mais simples que se cancelam quando somamos a série.
Assumimos que:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de
,
,
e
. Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Expandindo e igualando os coeficientes, encontramos:
Após simplificação, obtemos:
Passo 4
Substituindo os valores encontrados na decomposição de frações parciais, temos:
Passo 5
Agora, vamos escrever a soma original usando essa decomposição:
Observamos que essa soma vai telescopar, ou seja, muitos termos vão se cancelar.
Passo 6
Vamos analisar os termos da soma telescópica:
Perceba que
e
se cancelam, assim como
e
, e esse padrão continua para todos os termos intermediários.
Passo 7
Somando todos os termos, restam apenas os primeiros e os últimos termos que não se cancelam:
Como
vai para o infinito,
e
tendem a 0.
Resposta
Portanto, a soma da série é: