21.) sumn=2^infty 2 n+1n^2(n+1)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a soma infinita:
sumn=2^infty 2n + 1n^2(n+1)^2
Aqui, estamos lidando com séries infinitas e vamos precisar usar frações parciais para simplificar a expressão e facilitar a soma.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração 2n + 1n^2(n+1)^2 = An + Bn^2 + Cn+1 + D(n+1)^2 usando frações parciais. A ideia é decompor essa fração em termos mais simples que se cancelam quando somamos a série.
Assumimos que:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de 2n + 1 = A cdot n(n+1)^2 + B cdot (n+1)^2 + C cdot n^2(n+1) + D cdot n^2 , A = 1, B = -1, C = -1, D = 1 , e . Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Expandindo e igualando os coeficientes, encontramos:
Após simplificação, obtemos:

Passo 4

Substituindo os valores encontrados na decomposição de frações parciais, temos:
2n + 1n^2(n+1)^2 = 1n - 1n^2 - 1n+1 + 1(n+1)^2

Passo 5

Agora, vamos escrever a soma original usando essa decomposição:
sumn=2^infty ( 1n - 1n^2 - 1n+1 + 1(n+1)^2 )
Observamos que essa soma vai telescopar, ou seja, muitos termos vão se cancelar.

Passo 6

Vamos analisar os termos da soma telescópica:
( 12 - 14 - 13 + 19 ) + ( 13 - 19 - 14 + 116 ) + cdots
Perceba que e se cancelam, assim como e , e esse padrão continua para todos os termos intermediários.

Passo 7

Somando todos os termos, restam apenas os primeiros e os últimos termos que não se cancelam:
( 12 - 14 ) + limn to infty ( -1n+1 + 1(n+1)^2 )
Como vai para o infinito, e tendem a 0.

Resposta

Portanto, a soma da série é:
12 - 14 = 14

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