13 - (UFB) Um corpo de massa 1 kg , partindo do repouso em A , desce o plano inclinado AB e, em seguida desliza na superfície plana e horizontal BC , parando em C , após percorrer 4 m nessa superficie. O coeficiente de atrito entre o corpo e as duas superfícies é o mesmo e vale 0,2 . Considere cosq
, senq
e determine:
e) a velocidade máxima atingida pelo móvel
e) a velocidade máxima atingida pelo móvel
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos precisamos usar. Temos um corpo de 1 kg que começa parado no ponto A e desce um plano inclinado AB. Depois, ele desliza por uma superfície horizontal BC por 4 metros até parar no ponto C. O coeficiente de atrito nas duas superfícies é 0,2. Queremos descobrir qual é a velocidade máxima que o corpo atinge durante esse trajeto.
Para resolver isso, vamos precisar entender de:
- Cinética e energia: Para calcular a velocidade do corpo quando chega ao final do plano inclinado.
- Força de atrito: Já que o atrito está presente nas duas superfícies, ele vai influenciar na velocidade do corpo.
- Equações de movimento: Para relacionar a velocidade, aceleração e distância.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o movimento no plano inclinado AB. Como o corpo parte do repouso, a energia potencial gravitacional que ele tem no início será convertida em energia cinética e trabalho contra o atrito ao descer o plano.
A energia potencial inicial é dada por:
onde:
-
(massa do corpo), -
(aceleração da gravidade), -
é a altura do plano inclinado.
Sabemos que , então a altura
está relacionada ao comprimento do plano inclinado
pela fórmula:
Passo 3
Agora, vamos considerar as forças atuando no plano inclinado. Além da força gravitacional, temos a força de atrito, que age contra o movimento. A força de atrito
é calculada por:
onde
é o coeficiente de atrito e
é a força normal.
No plano inclinado, a força normal é:
Substituindo:
Então, a força de atrito:
Passo 4
A componente da força gravitacional que puxa o corpo para baixo do plano inclinado é:
Substituindo os valores:
A força resultante que acelera o corpo no plano inclinado é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a aceleração
do corpo no plano inclinado usando a segunda lei de Newton:
Passo 6
Sabemos que o corpo parte do repouso, então sua velocidade inicial
. Queremos encontrar a velocidade final
no final do plano inclinado AB. Vamos usar a equação de movimento:
onde
é o comprimento do plano inclinado.
Mas precisamos primeiro descobrir
. Sabemos que . Como o corpo desce até o ponto B, a altura é totalmente convertida. Podemos rearranjar para encontrar
:
Mas ainda não temos o valor de
. Vamos pensar de outra maneira.
Quando o corpo desce o plano, a energia potencial inicial é convertida em trabalho contra o atrito e energia cinética. Então:
Como
, substituímos:
Vamos simplificar:
Ainda precisamos de mais informações para resolver, então vamos considerar o movimento na superfície horizontal.
Passo 7
No trajeto BC, que é horizontal, o corpo sofre uma força de atrito que o faz desacelerar até parar após 4 metros. Podemos usar a equação de trabalho e energia:
Resposta
A velocidade máxima que o móvel atinge é aproximadamente 3,58 m/s.
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, senq
e determine:
a) a reação do plano inclinado.
a) a reação do plano inclinado.
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