13 - (UFB) Um corpo de massa 1 kg , partindo do repouso em A , desce o plano inclinado AB e, em seguida desliza na superfície plana e horizontal BC , parando em C , após percorrer 4 m nessa superficie. O coeficiente de atrito entre o corpo e as duas superfícies é o mesmo e vale 0,2 . Considere cosq =0,8, senq =0,6, g=10 m / s^2 e determine:
e) a velocidade máxima atingida pelo móvel

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos precisamos usar. Temos um corpo de 1 kg que começa parado no ponto A e desce um plano inclinado AB. Depois, ele desliza por uma superfície horizontal BC por 4 metros até parar no ponto C. O coeficiente de atrito nas duas superfícies é 0,2. Queremos descobrir qual é a velocidade máxima que o corpo atinge durante esse trajeto.
Para resolver isso, vamos precisar entender de:
  • Cinética e energia: Para calcular a velocidade do corpo quando chega ao final do plano inclinado.
  • Força de atrito: Já que o atrito está presente nas duas superfícies, ele vai influenciar na velocidade do corpo.
  • Equações de movimento: Para relacionar a velocidade, aceleração e distância.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o movimento no plano inclinado AB. Como o corpo parte do repouso, a energia potencial gravitacional que ele tem no início será convertida em energia cinética e trabalho contra o atrito ao descer o plano.
A energia potencial inicial é dada por:
Ep = m cdot g cdot h
onde:
  • h = AB cdot sinq (massa do corpo),
  • ² (aceleração da gravidade),
  • é a altura do plano inclinado.
Sabemos que , então a altura está relacionada ao comprimento do plano inclinado pela fórmula:

Passo 3

Agora, vamos considerar as forças atuando no plano inclinado. Além da força gravitacional, temos a força de atrito, que age contra o movimento. A força de atrito Fa = mu cdot N é calculada por:
N = m cdot g cdot cosq
onde N = 1 cdot 10 cdot 0,8 = 8 , N é o coeficiente de atrito e Fa = 0,2 cdot 8 = 1,6 , N é a força normal.
No plano inclinado, a força normal é:
Substituindo:
Então, a força de atrito:

Passo 4

A componente da força gravitacional que puxa o corpo para baixo do plano inclinado é:
Substituindo os valores:
Fg = m cdot g cdot sinq
A força resultante que acelera o corpo no plano inclinado é:
Fg = 1 cdot 10 cdot 0,6 = 6 , N

Passo 5

Agora, vamos calcular a aceleração F = m cdot a do corpo no plano inclinado usando a segunda lei de Newton:
a = Fm = 4,41 = 4,4 , m/s²
²

Passo 6

Sabemos que o corpo parte do repouso, então sua velocidade inicial v^2 = v0^2 + 2 cdot a cdot s . Queremos encontrar a velocidade final h = AB cdot 0,6 no final do plano inclinado AB. Vamos usar a equação de movimento:
m cdot g cdot h = 12 m v^2 + Fa cdot AB
onde 1 cdot 10 cdot (AB cdot 0,6) = 12 cdot 1 cdot v^2 + 1,6 cdot AB é o comprimento do plano inclinado.
Mas precisamos primeiro descobrir 6 AB = 0,5 v^2 + 1,6 AB . Sabemos que . Como o corpo desce até o ponto B, a altura é totalmente convertida. Podemos rearranjar para encontrar 6 AB - 1,6 AB = 0,5 v^2 :
4,4 AB = 0,5 v^2
Mas ainda não temos o valor de v^2 = 4,4 AB0,5 = 8,8 AB . Vamos pensar de outra maneira.
Quando o corpo desce o plano, a energia potencial inicial é convertida em trabalho contra o atrito e energia cinética. Então:
Como , substituímos:
Vamos simplificar:
Ainda precisamos de mais informações para resolver, então vamos considerar o movimento na superfície horizontal.

Passo 7

No trajeto BC, que é horizontal, o corpo sofre uma força de atrito que o faz desacelerar até parar após 4 metros. Podemos usar a equação de trabalho e energia:
Trabalho da força de atrito = Deçé
-Fa cdot s = -12 m v^2
1,6 cdot 4 = 12 cdot 1 cdot v^2
6,4 = 0,5 v^2
v^2 = 6,40,5 = 12,8
v = raiz12,8 approx 3,58 , m/s

Resposta

A velocidade máxima que o móvel atinge é aproximadamente 3,58 m/s.

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