• Durante uma partida de golfe uma bola recebe uma velocidade inicial de módulo v0, formando um ângulo phi com um plano que está inclinado de um ângulo theta acima da horizontal. Mostre que a distância, medida ao longo do plano inclinado, entre o ponto de lançamento e o ponto em que a bola colide com o plano inclinado, é dada por
l=(2 v0^2g)(cos ^2(phi+theta)cos theta)[tan (phi+theta)-tan theta]

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma bola de golfe que é lançada com uma velocidade inicial de módulo , formando um ângulo com um plano inclinado que está inclinado a um ângulo acima da horizontal. Precisamos encontrar a distância ao longo desse plano inclinado até a bola colidir de volta com ele. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática de projéteis e geometria dos planos inclinados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o movimento da bola. Como ela é lançada em um ângulo em relação ao plano inclinado, precisamos decompor sua velocidade inicial nas direções paralela e perpendicular ao plano. Isso facilita o cálculo das componentes de movimento ao longo e contra o plano.

Passo 3

Vamos decompor a velocidade inicial:
  • A componente paralela ao plano é .
  • A componente perpendicular ao plano é .
Mas, como o plano está inclinado a em relação à horizontal, precisamos ajustar esses ângulos. O ângulo efetivo de lançamento em relação à horizontal é .

Passo 4

Agora, decompondo a velocidade em relação à horizontal:
  • (horizontal)
  • (vertical)

Passo 5

O movimento horizontal e vertical podem ser tratados separadamente. Vamos encontrar o tempo total de voo até que a bola atinja novamente o plano inclinado. Para isso, precisamos igualar a posição vertical da bola à função que descreve o plano inclinado.
A equação do plano inclinado é .

Passo 6

A posição vertical da bola em função do tempo é dada por:
y(t) = v0y t - 12 g t^2
E a posição horizontal é:
x(t) = v0x t
Substituindo v0 sin(phi + theta) t - 12 g t^2 = v0 cos(phi + theta) t tan theta , temos:

Passo 7

Vamos reorganizar essa equação para resolver o tempo v0 sin(phi + theta) t - 12 g t^2 - v0 cos(phi + theta) t tan theta = 0 :
t ( v0 sin(phi + theta) - v0 cos(phi + theta) tan theta ) - 12 g t^2 = 0
Factorando :

Passo 8

Resolvendo para v0 sin(phi + theta) - v0 cos(phi + theta) tan theta - 12 g t = 0 , exceto quando t = 2 v0 ( sin(phi + theta) - cos(phi + theta) tan theta )g (ponto de lançamento):
t = 2 v0 cos(phi + theta) ( tan(phi + theta) - tan theta )g
Isolando :
Usando identidades trigonométricas, , então:

Passo 9

Agora que temos o tempo, vamos achar a distância l = x(t) cos theta ao longo do plano inclinado. A distância ao longo do plano é a componente paralela do deslocamento horizontal, que é:
l = v0 cos(phi + theta) cdot t cdot cos theta
Substituindo l = v0 cos(phi + theta) cdot 2 v0 cos(phi + theta) ( tan(phi + theta) - tan theta )g cdot cos theta :
l = ( 2 v0^2g ) ( cos^2(phi + theta)cos theta ) [ tan(phi + theta) - tan theta ]
Substituindo o valor de :
Simplificando:

Resposta

A distância ao longo do plano inclinado é dada por
l = ( 2 v0^2g ) ( cos^2(phi + theta)cos theta ) [ tan(phi + theta) - tan theta ]

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