• Durante uma partida de golfe uma bola recebe uma velocidade inicial de módulo , formando um ângulo com um plano que está inclinado de um ângulo acima da horizontal. Mostre que a distância, medida ao longo do plano inclinado, entre o ponto de lançamento e o ponto em que a bola colide com o plano inclinado, é dada por

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma bola de golfe que é lançada com uma velocidade inicial de módulo , formando um ângulo com um plano inclinado que está inclinado a um ângulo acima da horizontal. Precisamos encontrar a distância ao longo desse plano inclinado até a bola colidir de volta com ele. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática de projéteis e geometria dos planos inclinados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o movimento da bola. Como ela é lançada em um ângulo em relação ao plano inclinado, precisamos decompor sua velocidade inicial nas direções paralela e perpendicular ao plano. Isso facilita o cálculo das componentes de movimento ao longo e contra o plano.

Passo 3

Vamos decompor a velocidade inicial:
  • A componente paralela ao plano é .
  • A componente perpendicular ao plano é .
Mas, como o plano está inclinado a em relação à horizontal, precisamos ajustar esses ângulos. O ângulo efetivo de lançamento em relação à horizontal é .

Passo 4

Agora, decompondo a velocidade em relação à horizontal:
  • (horizontal)
  • (vertical)

Passo 5

O movimento horizontal e vertical podem ser tratados separadamente. Vamos encontrar o tempo total de voo até que a bola atinja novamente o plano inclinado. Para isso, precisamos igualar a posição vertical da bola à função que descreve o plano inclinado.
A equação do plano inclinado é .

Passo 6

A posição vertical da bola em função do tempo é dada por:
E a posição horizontal é:
Substituindo , temos:

Passo 7

Vamos reorganizar essa equação para resolver o tempo :
Factorando :

Passo 8

Resolvendo para , exceto quando (ponto de lançamento):
Isolando :
Usando identidades trigonométricas, , então:

Passo 9

Agora que temos o tempo, vamos achar a distância ao longo do plano inclinado. A distância ao longo do plano é a componente paralela do deslocamento horizontal, que é:
Substituindo :
Substituindo o valor de :
Simplificando:

Resposta

A distância ao longo do plano inclinado é dada por

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