- Durante uma partida de golfe uma bola recebe uma velocidade inicial de módulo
, formando um ângulo
com um plano que está inclinado de um ângulo
acima da horizontal. Mostre que a distância, medida ao longo do plano inclinado, entre o ponto de lançamento e o ponto em que a bola colide com o plano inclinado, é dada por
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma bola de golfe que é lançada com uma velocidade inicial de módulo
, formando um ângulo
com um plano inclinado que está inclinado a um ângulo
acima da horizontal. Precisamos encontrar a distância
ao longo desse plano inclinado até a bola colidir de volta com ele. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática de projéteis e geometria dos planos inclinados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o movimento da bola. Como ela é lançada em um ângulo
em relação ao plano inclinado, precisamos decompor sua velocidade inicial
nas direções paralela e perpendicular ao plano. Isso facilita o cálculo das componentes de movimento ao longo e contra o plano.
Passo 3
Vamos decompor a velocidade inicial:
- A componente paralela ao plano é
. - A componente perpendicular ao plano é
.
Mas, como o plano está inclinado a
em relação à horizontal, precisamos ajustar esses ângulos. O ângulo efetivo de lançamento em relação à horizontal é
.
Passo 4
Agora, decompondo a velocidade em relação à horizontal:
-
(horizontal) -
(vertical)
Passo 5
O movimento horizontal e vertical podem ser tratados separadamente. Vamos encontrar o tempo total de voo até que a bola atinja novamente o plano inclinado. Para isso, precisamos igualar a posição vertical da bola à função que descreve o plano inclinado.
A equação do plano inclinado é
.
Passo 6
A posição vertical da bola em função do tempo é dada por:
E a posição horizontal é:
Substituindo
, temos:
Passo 7
Vamos reorganizar essa equação para resolver o tempo
:
Factorando
:
Passo 8
Resolvendo para
, exceto quando
(ponto de lançamento):
Isolando
:
Usando identidades trigonométricas,
, então:
Passo 9
Agora que temos o tempo, vamos achar a distância
ao longo do plano inclinado. A distância ao longo do plano é a componente paralela do deslocamento horizontal, que é:
Substituindo
:
Substituindo o valor de
:
Simplificando:
Resposta
A distância ao longo do plano inclinado é dada por
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