Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma expressão que provavelmente veio de um exercício de cálculo, mais especificamente de uma integral. A expressão que vamos analisar é:
Para resolver ou entender essa expressão, precisamos usar conceitos de cálculo integral e técnicas de substituição. Vamos precisar dominar substituição por partes e conhecer a regra da cadeia para derivadas.

Passo 2

Vamos supor que o exercício seja encontrar a integral de uma função que resulte nessa expressão. Ou seja, queremos encontrar uma função tal que:
E queremos verificar qual função derivada nos dá essa expressão ou, alternativamente, entender como essa expressão foi obtida a partir de uma integral.

Passo 3

Primeiro, vamos identificar a função original que foi integrada para chegar a essa expressão. Observando a expressão, notamos que ela envolve um termo exponencial com um polinômio no expoente e um polinômio multiplicando esse termo.
Isso sugere que usamos a técnica de substituição para resolver a integral. Vamos lembrar que a substituição é útil quando temos uma função composta, onde uma função está dentro de outra.

Passo 4

Vamos considerar a integral de uma função do tipo . Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples.
Seja:
Então, a derivada de em relação a é:
Ou seja:

Passo 5

Agora, voltamos à nossa integral:
Substituindo e , precisamos ajustar a integral para se adequar à substituição.
Observamos que no nosso caso, temos , mas a substituição direta não se encaixa perfeitamente. Porém, podemos manipular a expressão para facilitar.

Passo 6

Vamos reescrever a integral:
Para a primeira parte, , podemos usar a substituição :
Mas ainda resta um na expressão. Isso sugere que talvez a integração por partes seja mais adequada aqui.

Passo 7

Vamos aplicar a integração por partes na integral .
A fórmula da integração por partes é:
Escolhemos e . Então, precisamos encontrar e :
No entanto, a integral de não possui uma antiderivada elementar conhecida, o que indica que precisamos repensar nossa abordagem.

Passo 8

Voltando ao ponto inicial, percebemos que a expressão dada:
pode ser a antiderivada de uma função envolvendo . Para verificar isso, vamos derivar essa expressão e ver o que obtemos.

Passo 9

Vamos derivar :
Calculando as derivadas:
Substituindo de volta:

Passo 10

Simplificando a expressão:
Portanto, a derivada de nos dá .

Resposta

A derivada da função é .

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