Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma expressão que provavelmente veio de um exercício de cálculo, mais especificamente de uma integral. A expressão que vamos analisar é:
Para resolver ou entender essa expressão, precisamos usar conceitos de cálculo integral e técnicas de substituição. Vamos precisar dominar substituição por partes e conhecer a regra da cadeia para derivadas.
Passo 2
Vamos supor que o exercício seja encontrar a integral de uma função que resulte nessa expressão. Ou seja, queremos encontrar uma função
tal que:
E queremos verificar qual função derivada nos dá essa expressão ou, alternativamente, entender como essa expressão foi obtida a partir de uma integral.
Passo 3
Primeiro, vamos identificar a função original que foi integrada para chegar a essa expressão. Observando a expressão, notamos que ela envolve um termo exponencial com um polinômio no expoente e um polinômio multiplicando esse termo.
Isso sugere que usamos a técnica de substituição para resolver a integral. Vamos lembrar que a substituição é útil quando temos uma função composta, onde uma função está dentro de outra.
Passo 4
Vamos considerar a integral de uma função do tipo
. Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples.
Seja:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Ou seja:
Passo 5
Agora, voltamos à nossa integral:
Substituindo
e
, precisamos ajustar a integral para se adequar à substituição.
Observamos que no nosso caso, temos
, mas a substituição direta não se encaixa perfeitamente. Porém, podemos manipular a expressão para facilitar.
Passo 6
Vamos reescrever a integral:
Para a primeira parte,
, podemos usar a substituição
:
Mas ainda resta um
na expressão. Isso sugere que talvez a integração por partes seja mais adequada aqui.
Passo 7
Vamos aplicar a integração por partes na integral
.
A fórmula da integração por partes é:
Escolhemos
e
. Então, precisamos encontrar
e
:
No entanto, a integral de
não possui uma antiderivada elementar conhecida, o que indica que precisamos repensar nossa abordagem.
Passo 8
Voltando ao ponto inicial, percebemos que a expressão dada:
pode ser a antiderivada de uma função envolvendo
. Para verificar isso, vamos derivar essa expressão e ver o que obtemos.
Passo 9
Vamos derivar
:
Calculando as derivadas:
Substituindo de volta:
Passo 10
Simplificando a expressão:
Portanto, a derivada de
nos dá
.
Resposta
A derivada da função
é
.