(x + 1) * arctg(raiz(x)) - raiz(x) + C

Passo 1

Tá, vamos lá! O enunciado que você me mandou é a expressão . A matéria que a gente vai usar aqui é Cálculo Integral, mais especificamente a técnica de integração por partes. A gente vai precisar lembrar da fórmula de integração por partes e entender como aplicar funções como a arctangente e radiciação nessa técnica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual parte da nossa expressão será “u” e qual será “dv” na fórmula da integração por partes. A fórmula é:
Nesse caso, queremos encontrar a integral de . Então, vamos deixar:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar e v:
  • Para encontrar , derivamos u:
  • Para encontrar v, integramos :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:

Passo 5

Simplificamos a integral que sobraram:
Aqui, fazemos uma substituição para facilitar. Vamos deixar , então e .

Passo 6

Substituímos na integral:
Simplificamos:
Voltando para x:

Passo 7

Agora, voltamos à expressão original:

Resposta

A integral de em relação a x é:

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