Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou envolve calcular uma integral que resulta na expressão . Isso está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas inversas e expressões algébricas. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição trigonométrica e identificar partes que facilitam a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que queremos integrar. Supondo que o exercício seja encontrar a integral de uma função que resulta na expressão dada, podemos começar assumindo que temos uma integral da forma:

Passo 3

Para resolver essa integral, vamos completar o quadrado no denominador dentro da raiz quadrada para simplificar a expressão. A expressão dentro da raiz é . Reorganizando os termos:
Completemos o quadrado para :
Substituindo de volta:
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, usamos uma substituição trigonométrica. Vamos deixar . Assim, . Substituindo na integral:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral se torna:

Passo 5

Para integrar , usamos a identidade trigonométrica:
Portanto:

Passo 6

Agora, voltamos à variável original . Lembrando que , temos:
E, portanto:
Também, usando a identidade , temos:
Sabemos que
Então:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão da integral, temos:
Multiplicando o segundo termo por 2 para simplificar:

Resposta

A integral de em relação a é:

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