Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou envolve calcular uma integral que resulta na expressão . Isso está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas inversas e expressões algébricas. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição trigonométrica e identificar partes que facilitam a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que queremos integrar. Supondo que o exercício seja encontrar a integral de uma função que resulta na expressão dada, podemos começar assumindo que temos uma integral da forma:
Passo 3
Para resolver essa integral, vamos completar o quadrado no denominador dentro da raiz quadrada para simplificar a expressão. A expressão dentro da raiz é
. Reorganizando os termos:
Completemos o quadrado para
:
Substituindo de volta:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, usamos uma substituição trigonométrica. Vamos deixar . Assim,
. Substituindo na integral:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral se torna:
Passo 5
Para integrar
, usamos a identidade trigonométrica:
Portanto:
Passo 6
Agora, voltamos à variável original
. Lembrando que , temos:
E, portanto:
Também, usando a identidade , temos:
Sabemos que
Então:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão da integral, temos:
Multiplicando o segundo termo por 2 para simplificar:
Resposta
A integral de
em relação a
é: