Uma partícula move-se em uma orbita elíptica plana descrita pelo vetor posição
r=2 b sen omega t imath+b cos omega t jmath
(a) Determine v, a e o módulo da velocidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que se move em uma órbita elíptica descrita pelo vetor posição . Precisamos encontrar a velocidade , a aceleração e o módulo da velocidade. Para resolver isso, vamos usar as derivadas de funções vetoriais em relação ao tempo, que fazem parte do estudo do cálculo diferencial na física.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a velocidade v = drdt . A velocidade é a derivada do vetor posição r = 2b sin(omega t) imath + b cos(omega t) jmath em relação ao tempo . Ou seja:
Dado que:

Passo 3

Vamos derivar cada componente de ddt [2b sin(omega t)] = 2b omega cos(omega t) em relação ao tempo:
Para a componente ddt [b cos(omega t)] = -b omega sin(omega t) :
v = 2b omega cos(omega t) imath - b omega sin(omega t) jmath
Para a componente :
Então, a velocidade fica:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a aceleração a = dvdt . A aceleração é a derivada da velocidade v = 2b omega cos(omega t) imath - b omega sin(omega t) jmath em relação ao tempo:
Usando o resultado da velocidade:

Passo 5

Derivando cada componente de ddt [2b omega cos(omega t)] = -2b omega^2 sin(omega t) em relação ao tempo:
Para a componente ddt [-b omega sin(omega t)] = -b omega^2 cos(omega t) :
a = -2b omega^2 sin(omega t) imath - b omega^2 cos(omega t) jmath
Para a componente :
Assim, a aceleração é:

Passo 6

Por fim, vamos calcular o módulo da velocidade |v| = raizvx^2 + vy^2 . O módulo de um vetor vx = 2b omega cos(omega t) vy = -b omega sin(omega t) é dado por:
|v| = raiz(2b omega cos(omega t))^2 + (-b omega sin(omega t))^2 |v| = raiz4b^2 omega^2 cos^2(omega t) + b^2 omega^2 sin^2(omega t) |v| = b omega raiz4 cos^2(omega t) + sin^2(omega t)
Usando a expressão da velocidade que encontramos:
Então:

Resposta

A velocidade da partícula é , a aceleração é e o módulo da velocidade é .

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