Uma partícula move-se em uma orbita elíptica plana descrita pelo vetor posição
(a) Determine e o módulo da velocidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que se move em uma órbita elíptica descrita pelo vetor posição . Precisamos encontrar a velocidade , a aceleração e o módulo da velocidade. Para resolver isso, vamos usar as derivadas de funções vetoriais em relação ao tempo, que fazem parte do estudo do cálculo diferencial na física.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a velocidade . A velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo . Ou seja:
Dado que:

Passo 3

Vamos derivar cada componente de em relação ao tempo:
Para a componente :
Para a componente :
Então, a velocidade fica:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a aceleração . A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Usando o resultado da velocidade:

Passo 5

Derivando cada componente de em relação ao tempo:
Para a componente :
Para a componente :
Assim, a aceleração é:

Passo 6

Por fim, vamos calcular o módulo da velocidade . O módulo de um vetor é dado por:
Usando a expressão da velocidade que encontramos:
Então:

Resposta

A velocidade da partícula é , a aceleração é e o módulo da velocidade é .

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