Uma partícula move-se em uma orbita elíptica plana descrita pelo vetor posição
(a) Determine
e o módulo da velocidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que se move em uma órbita elíptica descrita pelo vetor posição
. Precisamos encontrar a velocidade
, a aceleração
e o módulo da velocidade. Para resolver isso, vamos usar as derivadas de funções vetoriais em relação ao tempo, que fazem parte do estudo do cálculo diferencial na física.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a velocidade
. A velocidade é a derivada do vetor posição
em relação ao tempo
. Ou seja:
Dado que:
Passo 3
Vamos derivar cada componente de
em relação ao tempo:
Para a componente
:
Para a componente
:
Então, a velocidade
fica:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a aceleração
. A aceleração é a derivada da velocidade
em relação ao tempo:
Usando o resultado da velocidade:
Passo 5
Derivando cada componente de
em relação ao tempo:
Para a componente
:
Para a componente
:
Assim, a aceleração
é:
Passo 6
Por fim, vamos calcular o módulo da velocidade
. O módulo de um vetor
é dado por:
Usando a expressão da velocidade que encontramos:
Então:
Resposta
A velocidade da partícula é
, a aceleração é
e o módulo da velocidade é
.