(14) Em um circuito R L C em série, o capacitor está completamente carregado com carga q0 no instante t=0 e não há fonte externa. Determine o tempo necessário para que a energia máxima, presente no capacitor durante uma oscilação, caia para a metade do seu valor inicial. Mostre que a fração de energia perdida por ciclo de oscilação pode ser dado com uma boa aproximação por
De
onde Q é o fator de qualidade (ou de mérito) do circuito. Um circuito com alto valor de Q possui baixa resistência e uma pequena fração de perda de energia por ciclo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um circuito RLC em série onde o capacitor está totalmente carregado com uma carga inicial no tempo . Não tem fonte externa conectada. A gente precisa descobrir quanto tempo leva para que a energia máxima no capacitor caia para metade do valor inicial durante as oscilações. Além disso, vamos mostrar que a fração de energia perdida por ciclo de oscilação pode ser aproximada por , onde é o fator de qualidade do circuito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de circuitos RLC, energia em capacitores e indutores, e o fator de qualidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia armazenada em um capacitor é dada por:
UC = q^22C
onde é a carga no capacitor e é a capacitância.

Passo 3

Como o circuito não tem fonte externa, a energia vai oscilar entre o capacitor e o indutor, mas devido à resistência U(t) = U0 e^-RL t , essa energia vai diminuindo com o tempo. A energia total no circuito diminui exponencialmente, e podemos expressar isso como:
onde é a energia inicial e é a indutância.

Passo 4

Queremos encontrar o tempo U(t)U0 = 12 quando a energia e^-RL t = 12 cai para a metade da inicial . Então, temos:
Substituindo a expressão de :

Passo 5

Para resolver essa equação para -RL t = ln(12) , vamos aplicar o logaritmo natural dos dois lados:
t = LR ln(2)
Simplificando:

Passo 6

Então, o tempo necessário para que a energia caia para a metade é:
t = LR ln(2)

Passo 7

Agora, vamos mostrar que a fração de energia perdida por ciclo de oscilação é aproximadamente omega = 1raizLC .
Sabemos que a frequência angular Q = omega LR em um circuito RLC é:
2piQ = 2pi Romega L
E o fator de qualidade é definido como:
Portanto:

Passo 8

Assim, mostramos que a fração de energia perdida por ciclo é:
De

Resposta

O tempo necessário para que a energia máxima no capacitor caia para a metade do valor inicial é . Além disso, a fração de energia perdida por ciclo de oscilação é aproximadamente .

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