(14) Em um circuito em série, o capacitor está completamente carregado com carga no instante não há fonte externa. Determine o tempo necessário para que a energia máxima, presente no capacitor durante uma oscilação, caia para a metade do seu valor inicial. Mostre que a fração de energia perdida por ciclo de oscilação pode ser dado com uma boa aproximação por
onde é o fator de qualidade (ou de mérito) do circuito. Um circuito com alto valor de possui baixa resistência e uma pequena fração de perda de energia por ciclo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um circuito RLC em série onde o capacitor está totalmente carregado com uma carga inicial no tempo . Não tem fonte externa conectada. A gente precisa descobrir quanto tempo leva para que a energia máxima no capacitor caia para metade do valor inicial durante as oscilações. Além disso, vamos mostrar que a fração de energia perdida por ciclo de oscilação pode ser aproximada por , onde é o fator de qualidade do circuito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de circuitos RLC, energia em capacitores e indutores, e o fator de qualidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia armazenada em um capacitor é dada por:
onde é a carga no capacitor e é a capacitância.

Passo 3

Como o circuito não tem fonte externa, a energia vai oscilar entre o capacitor e o indutor, mas devido à resistência , essa energia vai diminuindo com o tempo. A energia total no circuito diminui exponencialmente, e podemos expressar isso como:
onde é a energia inicial e é a indutância.

Passo 4

Queremos encontrar o tempo quando a energia cai para a metade da inicial . Então, temos:
Substituindo a expressão de :

Passo 5

Para resolver essa equação para , vamos aplicar o logaritmo natural dos dois lados:
Simplificando:

Passo 6

Então, o tempo necessário para que a energia caia para a metade é:

Passo 7

Agora, vamos mostrar que a fração de energia perdida por ciclo de oscilação é aproximadamente .
Sabemos que a frequência angular em um circuito RLC é:
E o fator de qualidade é definido como:
Portanto:

Passo 8

Assim, mostramos que a fração de energia perdida por ciclo é:

Resposta

O tempo necessário para que a energia máxima no capacitor caia para a metade do valor inicial é . Além disso, a fração de energia perdida por ciclo de oscilação é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Uma amostra de um gás ideal diatômico, , inicialmente a e 4 atm de pressão, ocupando um volume inicial de 5 litros, é submetida a uma expansão adiabática reversivel, até atingir o volume final de 15 litros. Após esta transformação, o sistema é levado de volta ao seu estado inicial por um processo isométrico seguido de um processo isobárico. ambos reversiveis. Esboce os processos num diagrama , indicando e T de todos os estados intermediários no final de cada etapa e calcule e w para cada uma das etapas.
Sabe-se que, para o cloro gasoso , as constantes de van der Waals são e . Calcule a pressão a que estará submetida uma amostra de de cloro num recipiente de 1 litro a :
Usando o diagrama reduzido de compressibilidade, considerando .
Sabe-se que, para o nitrogênio gasoso ( , as constantes de van der Waals são e . Calcule a pressão a que estará submetida uma amostra de de nitrogênio num recipiente de 0,192 litro a uma temperatura de : considerando comportamento de gás ideal
Sabe-se que, para o nitrogênio gasoso ( , as constantes de van der Waals são e . Calcule a pressão a que estará submetida uma amostra de de nitrogênio num recipiente de 0,192 litro a uma temperatura de : considerando comportamento de gás de van der Waals.