(14) Em um circuito em série, o capacitor está completamente carregado com carga no instante não há fonte externa. Determine o tempo necessário para que a energia máxima, presente no capacitor durante uma oscilação, caia para a metade do seu valor inicial. Mostre que a fração de energia perdida por ciclo de oscilação pode ser dado com uma boa aproximação por
onde é o fator de qualidade (ou de mérito) do circuito. Um circuito com alto valor de possui baixa resistência e uma pequena fração de perda de energia por ciclo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um circuito RLC em série onde o capacitor está totalmente carregado com uma carga inicial no tempo . Não tem fonte externa conectada. A gente precisa descobrir quanto tempo leva para que a energia máxima no capacitor caia para metade do valor inicial durante as oscilações. Além disso, vamos mostrar que a fração de energia perdida por ciclo de oscilação pode ser aproximada por , onde é o fator de qualidade do circuito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de circuitos RLC, energia em capacitores e indutores, e o fator de qualidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia armazenada em um capacitor é dada por:
onde é a carga no capacitor e é a capacitância.
Passo 3
Como o circuito não tem fonte externa, a energia vai oscilar entre o capacitor e o indutor, mas devido à resistência , essa energia vai diminuindo com o tempo. A energia total no circuito diminui exponencialmente, e podemos expressar isso como:
onde é a energia inicial e é a indutância.
Passo 4
Queremos encontrar o tempo quando a energia cai para a metade da inicial . Então, temos:
Substituindo a expressão de :
Passo 5
Para resolver essa equação para , vamos aplicar o logaritmo natural dos dois lados:
Simplificando:
Passo 6
Então, o tempo necessário para que a energia caia para a metade é:
Passo 7
Agora, vamos mostrar que a fração de energia perdida por ciclo de oscilação é aproximadamente .
Sabemos que a frequência angular em um circuito RLC é:
E o fator de qualidade é definido como:
Portanto:
Passo 8
Assim, mostramos que a fração de energia perdida por ciclo é:
Resposta
O tempo necessário para que a energia máxima no capacitor caia para a metade do valor inicial é . Além disso, a fração de energia perdida por ciclo de oscilação é aproximadamente .