Calcule (usando fórmulas de derivação conhecidas ou o significado geométrico) integral1^2(x^3+1x+1x^3) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com a técnica de integração de funções polinomiais e funções racionais. Para resolver isso, vamos integrar cada termo separadamente e depois calcular o valor entre os limites de 1 e 2.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar o termo integral x^3 dx = x^44 + C . A regra básica para integrar potências de é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente. Então,
Como estamos fazendo uma integral definida, não precisamos do .

Passo 3

Agora, vamos integrar o termo integral 1x dx = ln|x| + C . A integral de é um pouco especial e resulta no logaritmo natural de :
Mais uma vez, como é uma integral definida, descartamos o .

Passo 4

O próximo termo é integral x^-3 dx = x^-2-2 + C = -12x^2 + C . Podemos reescrever isso como -12x^2 e aplicar a regra da potência:
Sem o , fica:

Passo 5

Agora, juntando todas as integrais que calculamos:
integral (x^3+1x+1x^3) dx = x^44 + ln|x| - 12x^2

Passo 6

Vamos agora avaliar essa expressão entre os limites de 1 e 2. Primeiro, substituímos 2^44 + ln 2 - 12(2)^2 = 164 + ln 2 - 18 = 4 + ln 2 - 0,125 :
1^44 + ln 1 - 12(1)^2 = 14 + 0 - 12 = 0,25 - 0,5 = -0,25
Em seguida, substituímos :

Passo 7

Agora, subtraímos o valor em (4 + ln 2 - 0,125) - (-0,25) = 4 + ln 2 - 0,125 + 0,25 = 4 + ln 2 + 0,125 do valor em 4,125 + ln 2 :
Simplificando:

Resposta

O valor da integral é .

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