Calcule (usando fórmulas de derivação conhecidas ou o significado geométrico)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com a técnica de integração de funções polinomiais e funções racionais. Para resolver isso, vamos integrar cada termo separadamente e depois calcular o valor entre os limites de 1 e 2.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar o termo
. A regra básica para integrar potências de
é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente. Então,
Como estamos fazendo uma integral definida, não precisamos do
.
Passo 3
Agora, vamos integrar o termo
. A integral de
é um pouco especial e resulta no logaritmo natural de
:
Mais uma vez, como é uma integral definida, descartamos o
.
Passo 4
O próximo termo é
. Podemos reescrever isso como
e aplicar a regra da potência:
Sem o
, fica:
Passo 5
Agora, juntando todas as integrais que calculamos:
Passo 6
Vamos agora avaliar essa expressão entre os limites de 1 e 2. Primeiro, substituímos
:
Em seguida, substituímos
:
Passo 7
Agora, subtraímos o valor em
do valor em
:
Simplificando:
Resposta
O valor da integral
é
.