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Considere o operador linear
e as bases
e
canônica. Determine
e
.
Considere o operador linear
Passo 1
Beleza, vamos lá! Neste exercício, a gente tem um operador linear
que transforma vetores no plano
de uma maneira específica. A tarefa é encontrar as matrizes que representam esse operador em três diferentes bases: duas que não são a base padrão (denominadas
e
) e a base canônica
. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar um operador linear em diferentes bases, o que envolve mudar de base usando matrizes de mudança.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que o operador
faz. Ele pega um vetor
e transforma em
. Isso significa que, em termos de matriz,
pode ser representado pela matriz:
Esta é a representação de
na base canônica
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar
, que já identificamos como a matriz
. Então, temos:
Passo 4
Vamos para a base
. Para encontrar
, precisamos expressar as imagens dos vetores da base
sob
em termos da própria base
.
Primeiro, aplicamos
aos vetores de
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, precisamos expressar
e
como combinações lineares dos vetores de
.
Para
:
Resolvendo:
Então,
.
Para
:
Resolvendo:
Então,
.
Passo 6
Agora, podemos montar a matriz
com os coeficientes obtidos:
Passo 7
Vamos repetir o processo para a base
. Primeiro, aplicamos
aos vetores de
:
Para
:
Para
:
Passo 8
Agora, expressamos
e
como combinações lineares dos vetores de
.
Para
:
Resolvendo:
Da primeira equação:
.
Substituindo na segunda equação:
Então,
.
Para
:
Resolvendo:
Da segunda equação:
.
Substituindo na primeira equação:
Então,
.
Passo 9
Montamos agora a matriz
com os coeficientes encontrados:
Resposta
As matrizes que representam o operador
nas bases dadas são:
Exercícios relacionados
Determine quais das seguintes funções são transformações lineares. Justifique sua resposta.
c) tal que
c)
Para cada transformação linear abaixo, verifique se
é invertível e calcule a inversa,
, se ela existe.
c) definida por
c)
Seja
tal que
, com
e
.
c) Determine e uma base para esse subespaço do
.
c) Determine
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Dada a transformação linear definida por
, encontre
, nulidade de
e posto de
.
Dada a transformação linear