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Considere o operador linear
T: R^2 (x, y) mapsto(x+2 y, x-y)
e as bases B1=(-1,1),(1,0), B2=(2,-1),(-1,1) e C canônica. Determine [T]B1,[T]B2 e [T]C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Neste exercício, a gente tem um operador linear que transforma vetores no plano de uma maneira específica. A tarefa é encontrar as matrizes que representam esse operador em três diferentes bases: duas que não são a base padrão (denominadas e ) e a base canônica . Para resolver isso, vamos precisar entender como representar um operador linear em diferentes bases, o que envolve mudar de base usando matrizes de mudança.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que o operador A = 1 & 2 1 & -1 faz. Ele pega um vetor e transforma em . Isso significa que, em termos de matriz, pode ser representado pela matriz:
Esta é a representação de na base canônica .

Passo 3

Agora, vamos encontrar [T]C = 1 & 2 1 & -1 , que já identificamos como a matriz . Então, temos:

Passo 4

Vamos para a base T(v1) = T(-1, 1) = (-1 + 2 cdot 1, -1 - 1) = (1, -2) . Para encontrar T(v2) = T(1, 0) = (1 + 2 cdot 0, 1 - 0) = (1, 1) , precisamos expressar as imagens dos vetores da base sob em termos da própria base .
Primeiro, aplicamos aos vetores de :
Para :
Para :

Passo 5

Agora, precisamos expressar - a + b = 1 a = -2 e a = -2 -(-2) + b = 1 Rightarrow 2 + b = 1 Rightarrow b = -1 como combinações lineares dos vetores de - c + d = 1 c = 1 .
Para c = 1 -1 + d = 1 Rightarrow d = 2 :
Resolvendo:
Então, .
Para :
Resolvendo:
Então, .

Passo 6

Agora, podemos montar a matriz [T]B1 = -2 & 1 -1 & 2 com os coeficientes obtidos:

Passo 7

Vamos repetir o processo para a base T(w1) = T(2, -1) = (2 + 2 cdot (-1), 2 - (-1)) = (0, 3) . Primeiro, aplicamos T(w2) = T(-1, 1) = (-1 + 2 cdot 1, -1 - 1) = (1, -2) aos vetores de :
Para :
Para :

Passo 8

Agora, expressamos 2a - b = 0 - a + b = 3 e - a + 2a = 3 Rightarrow a = 3 Rightarrow b = 6 como combinações lineares dos vetores de 2c - d = 1 - c + d = -2 .
Para 2c - (c - 2) = 1 Rightarrow c + 2 = 1 Rightarrow c = -1 Rightarrow d = -3 :
Resolvendo:
Da primeira equação: .
Substituindo na segunda equação:
Então, .
Para :
Resolvendo:
Da segunda equação: .
Substituindo na primeira equação:
Então, .

Passo 9

Montamos agora a matriz [T]B2 = 3 & -1 6 & -3 com os coeficientes encontrados:

Resposta

As matrizes que representam o operador [T]B1 = -2 & 1 -1 & 2 , [T]B2 = 3 & -1 6 & -3 , [T]C = 1 & 2 1 & -1 nas bases dadas são:

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