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Considere o operador linear
e as bases e canônica. Determine e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Neste exercício, a gente tem um operador linear que transforma vetores no plano de uma maneira específica. A tarefa é encontrar as matrizes que representam esse operador em três diferentes bases: duas que não são a base padrão (denominadas e ) e a base canônica . Para resolver isso, vamos precisar entender como representar um operador linear em diferentes bases, o que envolve mudar de base usando matrizes de mudança.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que o operador faz. Ele pega um vetor e transforma em . Isso significa que, em termos de matriz, pode ser representado pela matriz:
Esta é a representação de na base canônica .

Passo 3

Agora, vamos encontrar , que já identificamos como a matriz . Então, temos:

Passo 4

Vamos para a base . Para encontrar , precisamos expressar as imagens dos vetores da base sob em termos da própria base .
Primeiro, aplicamos aos vetores de :
Para :
Para :

Passo 5

Agora, precisamos expressar e como combinações lineares dos vetores de .
Para :
Resolvendo:
Então, .
Para :
Resolvendo:
Então, .

Passo 6

Agora, podemos montar a matriz com os coeficientes obtidos:

Passo 7

Vamos repetir o processo para a base . Primeiro, aplicamos aos vetores de :
Para :
Para :

Passo 8

Agora, expressamos e como combinações lineares dos vetores de .
Para :
Resolvendo:
Da primeira equação: .
Substituindo na segunda equação:
Então, .
Para :
Resolvendo:
Da segunda equação: .
Substituindo na primeira equação:
Então, .

Passo 9

Montamos agora a matriz com os coeficientes encontrados:

Resposta

As matrizes que representam o operador nas bases dadas são:

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Determine quais das seguintes funções são transformações lineares. Justifique sua resposta.
c) tal que
Para cada transformação linear abaixo, verifique se é invertível e calcule a inversa, , se ela existe.
c) definida por
Seja tal que , com e .
c) Determine e uma base para esse subespaço do .
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Dada a transformação linear definida por , encontre , nulidade de e posto de .