Determine quais das seguintes funções são transformações lineares. Justifique sua resposta.
c) f: R R tal que f(x)=|x|

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a função é uma transformação linear. Transformações lineares são funções que preservam as operações de adição e multiplicação por escalar. Para verificar isso, a gente vai precisar testar se satisfaz essas duas propriedades fundamentais das transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função preserva a adição. Isso significa que devemos checar se f(1 + (-1)) = f(0) = |0| = 0 para quaisquer números reais f(1) + f(-1) = |1| + |-1| = 1 + 1 = 2 e .
Por exemplo, vamos escolher e :
Viu só? é diferente de . Isso já mostra que a função não preserva a adição.

Passo 3

Agora, vamos conferir a multiplicação por escalar. A gente precisa ver se f(-1 cdot (-1)) = f(1) = |1| = 1 para qualquer escalar -1 cdot f(-1) = -1 cdot |-1| = -1 cdot 1 = -1 e qualquer número real .
Vamos pegar e :
Aqui, é diferente de . Isso mostra que a função também não preserva a multiplicação por escalar.

Resposta

A função não é uma transformação linear, pois não preserva a adição nem a multiplicação por escalar.

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