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Dada a transformação linear T: P5 P5 definida por T(p)=p^prime, encontre Nuc(T), Im(T), nulidade de T e posto de T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma transformação linear que pega um polinômio de grau até 5 e retorna a sua derivada . Estamos trabalhando com polinômios no espaço . Precisamos encontrar o Núcleo de (todos os polinômios que derivam para zero), a Imagem de (todos os possíveis ), a nulidade de (dimensão do Núcleo) e o posto de (dimensão da Imagem). Vamos precisar entender um pouco sobre espaços vetoriais, transformações lineares, e derivadas de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o Núcleo de , que é o conjunto de todos os polinômios em tal que . Isso significa que a derivada do polinômio é zero.

Passo 3

Um polinômio cuja derivada é zero deve ser uma constante, porque a derivada de qualquer constante é zero. Então, o Núcleo de consiste de todos os polinômios constantes em .

Passo 4

Vamos formalizar isso. Seja Nuc(T) = p(x) in P5 | p(x) = a0 onde é uma constante. Então, . Portanto,

Passo 5

Agora, vamos determinar a Imagem de . A Imagem de é o conjunto de todos os polinômios que podem ser obtidos como derivadas de polinômios em .

Passo 6

Se é um polinômio de grau até 5, então será um polinômio de grau até 4. Isso significa que a Imagem de é o conjunto de todos os polinômios de grau até 4, ou seja, .

Passo 7

Formalizando:
Im(T) = P4 = q(x) in P5 | deg(q) <= 4

Passo 8

Agora, vamos encontrar a nulidade de . A nulidade é a dimensão do Núcleo de . Como consiste apenas de polinômios constantes, a dimensão é 1.

Passo 9

Finalmente, o posto de é a dimensão da Imagem de . Já que e tem dimensão 5 (os coeficientes de até ), então o posto de é 5.

Resposta

  • Núcleo de Nuc(T) = p(x) in P5 | p(x) = a0 , onde a0 é constante :
Im(T) = P4 é
  • Imagem de :
  • Nulidade de : 1.
  • Posto de : 5.

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