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Dada a transformação linear
definida por
, encontre
, nulidade de
e posto de
.
Dada a transformação linear
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma transformação linear
que pega um polinômio
de grau até 5 e retorna a sua derivada
. Estamos trabalhando com polinômios no espaço
. Precisamos encontrar o Núcleo de
(todos os polinômios que derivam para zero), a Imagem de
(todos os possíveis
), a nulidade de
(dimensão do Núcleo) e o posto de
(dimensão da Imagem). Vamos precisar entender um pouco sobre espaços vetoriais, transformações lineares, e derivadas de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o Núcleo de
, que é o conjunto de todos os polinômios
em
tal que
. Isso significa que a derivada do polinômio é zero.
Passo 3
Um polinômio cuja derivada é zero deve ser uma constante, porque a derivada de qualquer constante é zero. Então, o Núcleo de
consiste de todos os polinômios constantes em
.
Passo 4
Vamos formalizar isso. Seja
onde
é uma constante. Então,
. Portanto,
Passo 5
Agora, vamos determinar a Imagem de
. A Imagem de
é o conjunto de todos os polinômios que podem ser obtidos como derivadas de polinômios em
.
Passo 6
Se
é um polinômio de grau até 5, então
será um polinômio de grau até 4. Isso significa que a Imagem de
é o conjunto de todos os polinômios de grau até 4, ou seja,
.
Passo 7
Formalizando:
Passo 8
Agora, vamos encontrar a nulidade de
. A nulidade é a dimensão do Núcleo de
. Como
consiste apenas de polinômios constantes, a dimensão é 1.
Passo 9
Finalmente, o posto de
é a dimensão da Imagem de
. Já que
e
tem dimensão 5 (os coeficientes de
até
), então o posto de
é 5.
Resposta
- Núcleo de
:
- Imagem de
:
-
Nulidade de
: 1. -
Posto de
: 5.