Para cada transformação linear abaixo, verifique se T é invertível e calcule a inversa, T^-1, se ela existe.
c) T: R^3 R^3 definida por T(a, b, c)=(a+b+c, a+2 b, a+2 c)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é descobrir se essa transformação é invertível e, se for, encontrar a inversa . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes e determinantes, já que elas ajudam a gente a verificar se a transformação pode ser desfeita.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação A = 1 & 1 & 1 1 & 2 & 0 1 & 0 & 2 como uma matriz. Cada saída de corresponde a uma combinação linear das variáveis de entrada . Então, a matriz que representa fica assim:

Passo 3

Agora, para verificar se det(A) = 1 cdot (2 cdot 2 - 0 cdot 0) - 1 cdot (1 cdot 2 - 0 cdot 1) + 1 cdot (1 cdot 0 - 2 cdot 1) é invertível, precisamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = 1 cdot (4 - 0) - 1 cdot (2 - 0) + 1 cdot (0 - 2) . Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível.
Vamos calcular o determinante de det(A) = 4 - 2 - 2 = 0 :

Passo 4

O determinante deu zero, ou seja, . Isso significa que a matriz não é invertível. Portanto, a transformação também não é invertível.

Resposta

A transformação não é invertível porque o determinante da matriz associada é zero.

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