Seja tal que , com e .
c) Determine e uma base para esse subespaço do .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de transformação linear aqui. Estamos olhando para uma transformação representada por uma matriz específica em relação a duas bases dadas. O que precisamos fazer é encontrar o núcleo dessa transformação, ou seja, todos os vetores em que são mapeados para o zero em , e também encontrar uma base para esse núcleo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a matriz da transformação . A matriz dada é:
Essa matriz representa como a transformação age nos vetores da base de para a base de .
Passo 3
Para encontrar o núcleo de , precisamos resolver a equação . Em termos de matrizes, isso significa resolver:
[
]
Passo 4
Vamos montar o sistema de equações a partir da multiplicação das matrizes:
→
→
Passo 5
Vamos resolver o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então, temos:
Passo 6
Vamos expressar as soluções em termos de um parâmetro livre. Vamos deixar , onde é qualquer número real.
Então:
Podemos escrever o vetor solução como:
Passo 7
Isso mostra que todos os vetores no núcleo de são múltiplos do vetor . Portanto, o núcleo de é uma reta que passa pela origem no espaço .
Resposta
O núcleo de é formado por todos os vetores da forma , onde é um número real. Portanto, uma base para é o vetor .