Seja T: R^2 R^3 tal que [T]B1 B2=[ccc1 & 0 & -1 -1 & 1 & 1], com B1=(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1) e B2= (-1,0),(0,-1).
c) Determine Nuc(T) e uma base para esse subespaço do R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de transformação linear aqui. Estamos olhando para uma transformação representada por uma matriz específica em relação a duas bases dadas. O que precisamos fazer é encontrar o núcleo dessa transformação, ou seja, todos os vetores em que são mapeados para o zero em , e também encontrar uma base para esse núcleo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a matriz da transformação [T]B1 B2 = 1 & 0 & -1 -1 & 1 & 1 . A matriz dada é:
Essa matriz representa como a transformação age nos vetores da base de para a base de .

Passo 3

Para encontrar o núcleo de 1 & 0 & -1 -1 & 1 & 1 x1 x2 x3 = 0 0 , precisamos resolver a equação . Em termos de matrizes, isso significa resolver:

[


]

Passo 4

Vamos montar o sistema de equações a partir da multiplicação das matrizes:

Passo 5

Vamos resolver o sistema:
Da primeira equação: - x3 + x2 + x3 = 0 Rightarrow x2 = 0
Substituindo x1 = x3 x2 = 0 na segunda equação:
Então, temos:

Passo 6

Vamos expressar as soluções em termos de um parâmetro livre. Vamos deixar x1 = t x2 = 0 x3 = t , onde x = t 1 0 1 é qualquer número real.
Então:
Podemos escrever o vetor solução como:

Passo 7

Isso mostra que todos os vetores no núcleo de 1 0 1 são múltiplos do vetor . Portanto, o núcleo de é uma reta que passa pela origem no espaço .

Resposta

O núcleo de 1 0 1 é formado por todos os vetores da forma 1 0 1 , onde é um número real. Portanto, uma base para é o vetor .

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