Seja tal que , com e .
c) Determine e uma base para esse subespaço do .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de transformação linear aqui. Estamos olhando para uma transformação representada por uma matriz específica em relação a duas bases dadas. O que precisamos fazer é encontrar o núcleo dessa transformação, ou seja, todos os vetores em que são mapeados para o zero em , e também encontrar uma base para esse núcleo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a matriz da transformação . A matriz dada é:
Essa matriz representa como a transformação age nos vetores da base de para a base de .

Passo 3

Para encontrar o núcleo de , precisamos resolver a equação . Em termos de matrizes, isso significa resolver:

[


]

Passo 4

Vamos montar o sistema de equações a partir da multiplicação das matrizes:

Passo 5

Vamos resolver o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então, temos:

Passo 6

Vamos expressar as soluções em termos de um parâmetro livre. Vamos deixar , onde é qualquer número real.
Então:
Podemos escrever o vetor solução como:

Passo 7

Isso mostra que todos os vetores no núcleo de são múltiplos do vetor . Portanto, o núcleo de é uma reta que passa pela origem no espaço .

Resposta

O núcleo de é formado por todos os vetores da forma , onde é um número real. Portanto, uma base para é o vetor .

Exercícios relacionados

14
Considere o operador linear
e as bases e canônica. Determine e .
Determine quais das seguintes funções são transformações lineares. Justifique sua resposta.
c) tal que
19
Dada a transformação linear definida por , encontre , nulidade de e posto de .
18
Determine quais das seguintes funções são transformações lineares. Justifique sua resposta.
a) tal que