(14) Considere o seguinte sistema.
c x-2 y+z=7 2 x-y+4 z=17 3 x-2 y+2 z=14
(x, y, z)=(2,-1,4) é solução do sistema?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um sistema de equações com três variáveis:
c x - 2y + z = 7 2x - y + 4z = 17 3x - 2y + 2z = 14
E a pergunta é: será que o ponto resolve esse sistema? Vamos usar conceitos de sistemas lineares para descobrir.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma solução para esse sistema. Uma solução é um conjunto de valores para , e que, quando substituídos em todas as equações, tornam todas elas verdadeiras simultaneamente. Então, nosso objetivo é substituir , e em cada equação e ver se as igualdades se mantêm.

Passo 3

Vamos começar com a primeira equação:
x - 2y + z = 7
Substituindo os valores:
2 - 2(-1) + 4 = 2 + 2 + 4 = 8
Agora, comparamos com o lado direito da equação:
8 stackrel?= 7
Não é igual. Isso já indica que não satisfaz a primeira equação.

Passo 4

Mesmo já tendo visto que a primeira equação não é satisfeita, vamos verificar as outras para completar a análise.
Segunda equação:
2x - y + 4z = 17
Substituindo:
2(2) - (-1) + 4(4) = 4 + 1 + 16 = 21
Comparando:
21 stackrel?= 17
Também não é igual.

Passo 5

Terceira equação:
3x - 2y + 2z = 14
Substituindo:
3(2) - 2(-1) + 2(4) = 6 + 2 + 8 = 16
Comparando:
16 stackrel?= 14
Mais uma vez, não é igual.

Resposta

Como nenhuma das três equações é satisfeita quando substituímos , esse ponto não é uma solução do sistema.

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