Responda Verdadeiro ou Falso. Se verdadeiro apresente uma justificativa usando as propriedades de matrizes; se falso, dê um exemplo mostrando o contrário. (h) Se é uma matriz simétrica de ordem , então , onde é a matriz identidade de ordem .
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. A gente tem uma matriz simétrica de ordem , ou seja, . A pergunta é se , onde é a matriz identidade de ordem . Vamos precisar entender o que significa matriz simétrica e a operação de subtração entre matrizes.
Passo 2
Primeiro, uma matriz simétrica é aquela que é igual à sua transposta, ou seja, . A transposta de uma matriz troca suas linhas por colunas. Então, se é simétrica, subtrair da sua transposta dá:
Aqui, representa a matriz nula, onde todos os elementos são zero.
Passo 3
Agora, a questão afirma que . Mas vimos que , não a matriz identidade . A matriz identidade tem 1’s na diagonal principal e 0’s fora dela, o que é diferente da matriz nula.
Passo 4
Para confirmar que a afirmação é falsa, vamos dar um exemplo. Considere uma matriz simétrica de ordem 2: