Responda Verdadeiro ou Falso. Se verdadeiro apresente uma justificativa usando as propriedades de matrizes; se falso, dê um exemplo mostrando o contrário. (h) Se
é uma matriz simétrica de ordem
, então
, onde
é a matriz identidade de ordem
.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. A gente tem uma matriz simétrica
de ordem
, ou seja,
. A pergunta é se
, onde
é a matriz identidade de ordem
. Vamos precisar entender o que significa matriz simétrica e a operação de subtração entre matrizes.
Passo 2
Primeiro, uma matriz simétrica é aquela que é igual à sua transposta, ou seja,
. A transposta de uma matriz troca suas linhas por colunas. Então, se
é simétrica, subtrair
da sua transposta dá:
Aqui,
representa a matriz nula, onde todos os elementos são zero.
Passo 3
Agora, a questão afirma que
. Mas vimos que
, não a matriz identidade
. A matriz identidade tem 1’s na diagonal principal e 0’s fora dela, o que é diferente da matriz nula.
Passo 4
Para confirmar que a afirmação é falsa, vamos dar um exemplo. Considere uma matriz simétrica
de ordem 2:
A transposta de
é:
Então,
Resposta
Falso. Por exemplo, se
é simétrica, então
.