Responda Verdadeiro ou Falso. Se verdadeiro apresente uma justificativa usando as propriedades de matrizes; se falso, dê um exemplo mostrando o contrário. (h) Se A é uma matriz simétrica de ordem n, n in N^*, então A-A^t=In, onde In é a matriz identidade de ordem n.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. A gente tem uma matriz simétrica de ordem , ou seja, . A pergunta é se , onde é a matriz identidade de ordem . Vamos precisar entender o que significa matriz simétrica e a operação de subtração entre matrizes.

Passo 2

Primeiro, uma matriz simétrica é aquela que é igual à sua transposta, ou seja, A - A^t = A - A = 0 . A transposta de uma matriz troca suas linhas por colunas. Então, se é simétrica, subtrair da sua transposta dá:
Aqui, representa a matriz nula, onde todos os elementos são zero.

Passo 3

Agora, a questão afirma que . Mas vimos que , não a matriz identidade . A matriz identidade tem 1’s na diagonal principal e 0’s fora dela, o que é diferente da matriz nula.

Passo 4

Para confirmar que a afirmação é falsa, vamos dar um exemplo. Considere uma matriz simétrica A = 2 & 3 3 & 5 de ordem 2:
A^t = 2 & 3 3 & 5
A transposta de A - A^t = 2-2 & 3-3 3-3 & 5-5 = 0 & 0 0 & 0 neq I2 = 1 & 0 0 & 1 é:
Então,

Resposta

Falso. Por exemplo, se 2 & 3 3 & 5 é simétrica, então 0 & 0 0 & 0 .

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