Discuta e resolva o sistema:
x+y+z & =0 x-y+m z & =2 m x+2 y+z & =-1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse sistema de equações que você me mandou:
x + y + z & = 0 x - y + m z & = 2 m x + 2 y + z & = -1
Aqui estamos trabalhando com equações lineares, que fazem parte da álgebra linear. Para resolver esse sistema, vamos precisar usar métodos como a substituição ou a eliminação, além de entender um pouco sobre determinantes para saber se o sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar as equações para facilitar a visualização. Nosso sistema é:
x + y + z = 0 (1) x - y + m z = 2 (2) m x + 2 y + z = -1 (3)
Para resolver, podemos usar o método da eliminação. Vamos tentar eliminar uma das variáveis para simplificar o sistema.

Passo 3

Vamos começar eliminando o (x - y + m z) - (x + y + z) = 2 - 0 x - y + m z - x - y - z = 2 -2y + (m - 1)z = 2 (4) . Para isso, podemos subtrair a equação (1) da equação (2):
Agora, temos uma nova equação (4) sem o .

Passo 4

Vamos também eliminar o m(x + y + z) = m cdot 0 m x + m y + m z = 0 (m x + 2 y + z) - (m x + m y + m z) = -1 - 0 (2 y - m y) + (z - m z) = -1 (2 - m)y + (1 - m)z = -1 (5) usando a equação (1) e a equação (3). Para isso, multiplicamos a equação (1) por e subtraímos da equação (3):
Agora temos outra equação sem o .

Passo 5

Agora, temos o sistema com as equações (4) e (5):
-2y + (m - 1)z = 2 (4) (2 - m)y + (1 - m)z = -1 (5)
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 6

Podemos multiplicar a equação (4) por (2 - m)(-2y + (m - 1)z) = (2 - m) cdot 2 -2(2 - m)y + (m - 1)(2 - m)z = 2(2 - m) (6) e a equação (5) por 2[(2 - m)y + (1 - m)z] = 2 cdot (-1) 2(2 - m)y + 2(1 - m)z = -2 (7) para facilitar a eliminação:
[-2(2 - m)y + (m - 1)(2 - m)z] - [2(2 - m)y + 2(1 - m)z] = 2(2 - m) - (-2) -4y + 2m y + (m^2 - 3m + 2)z - 4y + 2m y - 2z + 2m z = 4 - 2m + 2 (-4y - 4y) + (2m y + 2m y) + [(m^2 - 3m + 2)z - 2z + 2m z] = 6 - 2m -8y + 4m y + (m^2 - 3m + 2 - 2 + 2m)z = 6 - 2m
(-8 + 4m)y + (m^2 - m)z = 6 - 2m
Agora, subtraímos a equação (7) da equação (6) para eliminar :
Simplificando:
Mas parece que essa abordagem está complicando. Vamos tentar resolver de outra forma.

Passo 7

Vamos resolver a equação (4) para -2y + (m - 1)z = 2 -2y = 2 - (m - 1)z y = (m - 1)z - 22 :
(2 - m)((m - 1)z - 22) + (1 - m)z = -1
Agora, substituímos (2 - m)[(m - 1)z - 2] + 2(1 - m)z = -2 (2 - m)(m - 1)z - 2(2 - m) + 2(1 - m)z = -2 na equação (5):
[(2m - 2 - m^2 + m)z] - [4 - 2m] + [2 - 2m]z = -2 (3m - 2 - m^2)z - 4 + 2m + 2z - 2m z = -2
Multiplicando tudo por 2 para eliminar o denominador:
(3m - 2 - m^2 + 2 - 2m)z - 4 + 2m = -2 (-m^2 + m)z - 4 + 2m = -2
Expandindo:
(-m^2 + m)z = 2 - 2m
Combinando termos semelhantes:
z = 2 - 2m-m^2 + m = 2(1 - m)m(m - 1) = 2m
Então:
Isolando :
Então .

Passo 8

Agora que encontramos y = (m - 1) cdot 2m - 22 = 2(m - 1)m - 22 , vamos substituir esse valor na expressão que encontramos para y = 2(m - 1) - 2m2m = 2m - 2 - 2m2m = -22m = -1m :
Simplificando:
Então .

Passo 9

Agora, vamos usar os valores de x + y + z = 0 x + (-1m) + 2m = 0 x + 1m = 0 x = -1m e para encontrar utilizando a equação (1):
Então .

Resposta

A solução do sistema é:
x = -1m, y = -1m, z = 2m

Exercícios relacionados