Dados os subespaços vetoriais , e , mostre que:
b) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que todo vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor em e outro em . Isso está relacionado ao conceito de soma de subespaços vetoriais na Álgebra Linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são e :
: aqui, o primeiro e o terceiro componentes do vetor são iguais.
: nesse subespaço, só o terceiro componente pode variar, os outros são zero.
Passo 3
Vamos pegar um vetor qualquer em , digamos , e tentar escrever ele como a soma de um vetor de e outro de . Ou seja, queremos encontrar vetores em e em tal que:
Passo 4
Somando os vetores, temos:
Isso nos dá as seguintes equações:
Passo 5
Como exige que , temos que . Então, substituindo na última equação:
Passo 6
Agora, podemos escolher:
E efetivamente:
Resposta
Assim, todo vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor em e outro em . Portanto, .