Dados os subespaços vetoriais W1=(x, y, z) in R^3 mid x+y+z=0, W2=(x, y, z) in R^3 mid x=z e W3=(0,0, z) in R^3 mid z in R, mostre que:
b) R^3=W2+W3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que todo vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor em e outro em . Isso está relacionado ao conceito de soma de subespaços vetoriais na Álgebra Linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são e :
  • : aqui, o primeiro e o terceiro componentes do vetor são iguais.
  • : nesse subespaço, só o terceiro componente pode variar, os outros são zero.

Passo 3

Vamos pegar um vetor qualquer em (a, b, c) = (x, y, z) + (0, 0, w) , digamos , e tentar escrever ele como a soma de um vetor de e outro de . Ou seja, queremos encontrar vetores em e em tal que:

Passo 4

Somando os vetores, temos:
(a, b, c) = (x + 0, y + 0, z + w) implies (a, b, c) = (x, y, z + w)
Isso nos dá as seguintes equações:
x = a y = b z + w = c

Passo 5

Como a + w = c implies w = c - a exige que , temos que . Então, substituindo na última equação:

Passo 6

Agora, podemos escolher:
(x, y, z) = (a, b, a) in W2 (0, 0, w) = (0, 0, c - a) in W3
E efetivamente:
(a, b, c) = (a, b, a) + (0, 0, c - a)

Resposta

Assim, todo vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor em e outro em . Portanto, .

Exercícios relacionados

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Determine uma base para o subespaço vetorial de P3(R) definido por:
S=p(x) in P3(R) mid p(-1)+p^prime(-1)=0 e p(1)=0
Dadas A=[ll1 & 7 2 & 6], B=[ll2 & 1 4 & 3] e I a matriz identidade de ordem 2 .
(a) Se existir, determine a matriz X tal que: 12(X-A-B)=13(X-2 I)
Considere as mat ries: A=[cc3 & 0 -1 & 2 1 & 1], B=[cc4 & -1 0 & 2], C-[lll1 & 4 & 2 3 & 1 & 5],
D=[c 1 -1 2 ] e E=[ccc 6 & 1 & 3 -1 & 1 & 2 4 & 1 & 3 ]
Cakuk guando posivel, as soguintes matrizes:
(b) 12(A cdot D)^prime+12 A^prime
Sejam W1=>=r((1,0,-1),(1,2,1)) e W2=>=r((1,1,1),(1,0,0)).
b) Determine uma base para W1 cap W2.