7-14 Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro
cresce.
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Passo 1
Beleza, o enunciado da questão pede para esboçarmos o gráfico da curva dada pela equação vetorial e indicar com setas a direção em que o parâmetro
cresce. Vamos usar conceitos de parametrização de curvas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa equação vetorial. A função descreve uma curva no plano XY, onde:
- A componente representa a posição no eixo horizontal.
- A componente
representa a posição no eixo vertical.
O parâmetroé como um “tempo” que varia, e para cada valor de , a gente tem um ponto na curva.
Passo 3
Para desenhar o gráfico, vamos analisar como
e
mudam conforme
aumenta:
- A função oscila entre -1 e 1 de forma periódica.
- A função
aumenta continuamente conforme cresce.
Isso significa que à medida queaumenta, o ponto se move para cima no eixo , enquanto oscila para a direita e para a esquerda no eixo .
Passo 4
Isso resulta em uma curva que parece uma onda senoidal se movimentando para cima. Visualmente, a curva vai dando voltas (por causa do seno) enquanto sobe no eixo
. É como se fosse uma espiral desenhada verticalmente.
Passo 5
Agora, para indicar a direção em que
cresce, colocamos setas na curva apontando na direção do aumento de
, ou seja, para cima. Isso mostra que conforme
aumenta, o ponto na curva está se movendo para cima.
Resposta
O gráfico da curva é uma onda senoidal que se desloca verticalmente para cima conforme
aumenta, com setas na curva indicando a direção ascendente do crescimento de
.