Determine a inversa de cada função, se existir.
f(x)=x^{2}-6 x+10

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a função inversa de , se ela existir. Isso envolve entender o que é função inversa e como determiná-la, especialmente para funções quadráticas. Vamos precisar usar alguns conceitos de álgebra como resolver equações e entender o comportamento das funções quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. A função inversa, denotada por , é aquela que “desfaz” a função original. Ou seja, se você aplicar e depois , você volta ao valor inicial: .

Passo 3

Agora, para encontrar a inversa, a gente troca por e troca e na equação. Então:
Trocando e :

Passo 4

Esse passo parece complicado, mas a ideia é resolver a equação para em termos de . Vamos reorganizar a equação:
Isso é uma equação quadrática em relação a . Para resolver, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Simplificando os termos dentro da raiz:
Fatorando a raiz:

Passo 5

Aqui percebemos que a função quadrática original não é invertível em todo o seu domínio porque ela não é uma função um-para-um (ou seja, para um valor de , existem dois valores de ). Para que a inversa exista, precisamos restringir o domínio da função original para que ela seja uma função inversa.
Geralmente, escolhemos a parte da parábola onde a função é crescente ou decrescente. Vamos assumir que estamos considerando a parte crescente, então usamos o sinal positivo:

Resposta

A função inversa de , restrita para que seja inversível, é:

Exercícios relacionados

7-14 Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.
7.
Para cada função, quando necessário, use o conceito de limite para esboçar o gráfico de f. Registre os interceptos OX e OY, as assíntotas horizontal e vertical (caso existam), e discuta a continuidade.
f(x)=|x-1|+|2-x|+|x-3|
Determine o limite, caso ele exista, ou mostre que o limite não existe.
Determine o limite, caso ele exista, ou mostre que o limite não existe.