Determine o limite, caso ele exista, ou mostre que o limite não existe.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar o limite da função quando as variáveis e se aproximam dos valores e , respectivamente. Para resolver isso, vamos precisar conhecer propriedades de limites de funções de várias variáveis e como calcular limites de funções básicas como exponenciais e seno.

Passo 2

Vamos analisar a função primeiro. Sabemos que a função exponencial é contínua em todo o seu domínio, o que significa que o limite dela quando se aproxima de qualquer ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto. Portanto, .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função . A função seno também é contínua para todos os números reais. Assim, o limite de quando se aproxima de é .

Passo 4

Sabemos que o limite do produto de duas funções contínuas é igual ao produto dos limites dessas funções. Ou seja:
Isso simplifica nosso cálculo, pois podemos calcular cada limite separadamente.

Passo 5

Vamos calcular agora os limites individuais:
Multiplicando os dois resultados, temos:

Resposta

O limite é .

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Determine a inversa de cada função, se existir.
f(x)=x^{2}-6 x+10
7-14 Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.
7.
Determine o limite, caso ele exista, ou mostre que o limite não existe.
Descreva o domínio e imagem de cada função:
f(x)=1+\sqrt{1-x^{2}}