Determine o limite, caso ele exista, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (pi, 1 / 2) e^x y sen x y

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar o limite da função quando as variáveis e se aproximam dos valores e , respectivamente. Para resolver isso, vamos precisar conhecer propriedades de limites de funções de várias variáveis e como calcular limites de funções básicas como exponenciais e seno.

Passo 2

Vamos analisar a função primeiro. Sabemos que a função exponencial é contínua em todo o seu domínio, o que significa que o limite dela quando se aproxima de qualquer ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto. Portanto, .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função . A função seno também é contínua para todos os números reais. Assim, o limite de quando se aproxima de é .

Passo 4

Sabemos que o limite do produto de duas funções contínuas é igual ao produto dos limites dessas funções. Ou seja:
lim(x, y) (pi, 1/2) e^x y cdot sin(x y) = ( lim(x, y) (pi, 1/2) e^x y ) cdot ( lim(x, y) (pi, 1/2) sin(x y) )
Isso simplifica nosso cálculo, pois podemos calcular cada limite separadamente.

Passo 5

Vamos calcular agora os limites individuais:
lim(x, y) (pi, 1/2) e^x y = e^pi cdot 12 = e^pi2
lim(x, y) (pi, 1/2) sin(x y) = sin(pi cdot 12) = sin(pi2) = 1
Multiplicando os dois resultados, temos:
e^pi2 cdot 1 = e^pi2

Resposta

O limite é .

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