Determine o limite, caso ele exista, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar o limite da função
quando as variáveis
e
se aproximam dos valores
e
, respectivamente. Para resolver isso, vamos precisar conhecer propriedades de limites de funções de várias variáveis e como calcular limites de funções básicas como exponenciais e seno.
Passo 2
Vamos analisar a função
primeiro. Sabemos que a função exponencial é contínua em todo o seu domínio, o que significa que o limite dela quando
se aproxima de qualquer ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto. Portanto,
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função
. A função seno também é contínua para todos os números reais. Assim, o limite de
quando
se aproxima de
é
.
Passo 4
Sabemos que o limite do produto de duas funções contínuas é igual ao produto dos limites dessas funções. Ou seja:
Isso simplifica nosso cálculo, pois podemos calcular cada limite separadamente.
Passo 5
Vamos calcular agora os limites individuais:
Multiplicando os dois resultados, temos:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Determine a inversa de cada função, se existir.
f(x)=x^{2}-6 x+10
f(x)=x^{2}-6 x+10
7-14 Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro
cresce.
7.
7.
Determine o limite, caso ele exista, ou mostre que o limite não existe.
Descreva o domínio e imagem de cada função:
f(x)=1+\sqrt{1-x^{2}}
f(x)=1+\sqrt{1-x^{2}}