Para cada função, quando necessário, use o conceito de limite para esboçar o gráfico de f. Registre os interceptos OX e OY, as assíntotas horizontal e vertical (caso existam), e discuta a continuidade.
f(x)=|x-1|+|2-x|+|x-3|

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A questão pede pra gente esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos usar conceitos de limites, identificar os interceptos com os eixos e , verificar se existem assíntotas horizontais ou verticais, e discutir sobre a continuidade da função. Vamos precisar entender como funcionam as funções valor absoluto e aplicar algumas propriedades de limites e continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os pontos onde cada módulo muda de comportamento, ou seja, onde a expressão dentro do valor absoluto é igual a zero. Essas são as “quebras” no gráfico da função.
Para , o ponto crítico é .
Para , o ponto crítico é .
Para , o ponto crítico é .
Então, os pontos críticos são , e . Esses pontos vão dividir a reta real em intervalos onde a função terá expressões lineares diferentes.

Passo 3

Vamos dividir a análise em quatro intervalos com base nos pontos críticos:
  1. Intervalo 1:
  2. Intervalo 2:
  3. Intervalo 3:
  4. Intervalo 4:
Em cada intervalo, vamos remover os valores absolutos considerando se a expressão dentro é positiva ou negativa.

Passo 4

Intervalo 1:
Então,
Intervalo 2:
Então,
Intervalo 3:
Então,
Intervalo 4:
Então,

Passo 5

Agora que temos as expressões de em cada intervalo, vamos encontrar os interceptos com os eixos.
Intercepto com o eixo :
Para encontrar :
Então, o intercepto com é .
Interceptos com o eixo :
Precisamos resolver .
Analisando as expressões de :
  • No Intervalo 1: (mas , então não está válido aqui)
  • No Intervalo 2: (mas , não válido)
  • No Intervalo 3: (mas , não válido)
  • No Intervalo 4: (mas , não válido)
Então, a função não intercepta o eixo .

Passo 6

Vamos verificar agora as assíntotas.
Assíntotas Verticais:
Assíntotas verticais geralmente ocorrem em funções racionais quando o denominador se aproxima de zero. Aqui, é composta por funções lineares e valor absoluto, que são todas contínuas e não possuem denominadores. Portanto, não há assíntotas verticais.
Assíntotas Horizontais:
Analisando o comportamento de quando tende ao infinito positivo ou negativo:
  • Quando , → cresce sem limite.
  • Quando , → cresce sem limite.
Portanto, não há assíntotas horizontais.

Passo 7

Por último, vamos discutir a continuidade da função.
Cada uma das funções de valor absoluto é contínua, e a soma de funções contínuas também é contínua. Além disso, verificando os pontos críticos , e , vemos que os limites pela esquerda e pela direita são iguais nos pontos de transição. Portanto, é contínua em todo o seu domínio.

Resposta

A função possui intercepto com o eixo em e não intercepta o eixo . Não há assíntotas horizontais ou verticais. A função é contínua em todo o seu domínio.

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Para cada função, quando necessário, use o conceito de limite para esboçar o gráfico de f. Registre os interceptos OX e OY, as assíntotas horizontal e vertical (caso existam), e discuta a continuidade.
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7.
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