Para cada função, quando necessário, use o conceito de limite para esboçar o gráfico de f. Registre os interceptos OX e OY, as assíntotas horizontal e vertical (caso existam), e discuta a continuidade.
f(x)=|x-1|+|2-x|+|x-3|
f(x)=|x-1|+|2-x|+|x-3|
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A questão pede pra gente esboçar o gráfico da função
. Para isso, vamos usar conceitos de limites, identificar os interceptos com os eixos
e
, verificar se existem assíntotas horizontais ou verticais, e discutir sobre a continuidade da função. Vamos precisar entender como funcionam as funções valor absoluto e aplicar algumas propriedades de limites e continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os pontos onde cada módulo muda de comportamento, ou seja, onde a expressão dentro do valor absoluto é igual a zero. Essas são as “quebras” no gráfico da função.
Para
, o ponto crítico é
.
Para
, o ponto crítico é
.
Para
, o ponto crítico é
.
Então, os pontos críticos são
,
e
. Esses pontos vão dividir a reta real em intervalos onde a função
terá expressões lineares diferentes.
Passo 3
Vamos dividir a análise em quatro intervalos com base nos pontos críticos:
- Intervalo 1:
- Intervalo 2:
- Intervalo 3:
- Intervalo 4:
Em cada intervalo, vamos remover os valores absolutos considerando se a expressão dentro é positiva ou negativa.
Passo 4
Intervalo 1:
Então,
Intervalo 2:
Então,
Intervalo 3:
Então,
Intervalo 4:
Então,
Passo 5
Agora que temos as expressões de
em cada intervalo, vamos encontrar os interceptos com os eixos.
Intercepto com o eixo
:
Para encontrar
:
Então, o intercepto com
é
.
Interceptos com o eixo
:
Precisamos resolver
.
Analisando as expressões de
:
- No Intervalo 1:
⇒ (mas , então não está válido aqui) - No Intervalo 2:
⇒ (mas , não válido) - No Intervalo 3:
(mas , não válido) - No Intervalo 4:
⇒ (mas , não válido)
Então, a função não intercepta o eixo
.
Passo 6
Vamos verificar agora as assíntotas.
Assíntotas Verticais:
Assíntotas verticais geralmente ocorrem em funções racionais quando o denominador se aproxima de zero. Aqui,
é composta por funções lineares e valor absoluto, que são todas contínuas e não possuem denominadores. Portanto, não há assíntotas verticais.
Assíntotas Horizontais:
Analisando o comportamento de
quando
tende ao infinito positivo ou negativo:
- Quando
, → cresce sem limite. - Quando
, → cresce sem limite.
Portanto, não há assíntotas horizontais.
Passo 7
Por último, vamos discutir a continuidade da função.
Cada uma das funções de valor absoluto é contínua, e a soma de funções contínuas também é contínua. Além disso, verificando os pontos críticos
,
e
, vemos que os limites pela esquerda e pela direita são iguais nos pontos de transição. Portanto,
é contínua em todo o seu domínio.
Resposta
A função
possui intercepto com o eixo
em
e não intercepta o eixo
. Não há assíntotas horizontais ou verticais. A função é contínua em todo o seu domínio.
Exercícios relacionados
Para cada função, quando necessário, use o conceito de limite para esboçar o gráfico de f. Registre os interceptos OX e OY, as assíntotas horizontal e vertical (caso existam), e discuta a continuidade.
f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}
f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}
Uma antena parabólica de televisão foi construída girando a parábola de equação
com
em torno do seu eixo de simetria. Nestas condições:
Dê as coordenadas do ponto F onde deve ser instalado o receptor da antena.
Dê as coordenadas do ponto F onde deve ser instalado o receptor da antena.
7-14 Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro
cresce.
7.
7.
Determine a inversa de cada função, se existir.
f(x)=x^{2}-6 x+10
f(x)=x^{2}-6 x+10