Para cada função, quando necessário, use o conceito de limite para esboçar o gráfico de f. Registre os interceptos OX e OY, as assíntotas horizontal e vertical (caso existam), e discuta a continuidade.
f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}
f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
. O que precisamos fazer é esboçar o gráfico dela usando limites, encontrar os interceptos nos eixos
e
, identificar possíveis assíntotas horizontais e verticais, e falar sobre a continuidade da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os interceptos. O intercepto no eixo
ocorre quando
. Então, substituímos
por 0 na função:
Então, o intercepto no
é o ponto
.
Passo 3
Agora, para encontrar os interceptos no eixo
, a gente faz
e resolve para
:
Mas, olha só,
nunca vai ser zero porque o denominador
é sempre maior que zero. Então, essa função não tem intercepto no eixo
.
Passo 4
Vamos procurar as assíntotas horizontais. As assíntotas horizontais representam o comportamento da função quando
vai para mais ou menos infinito. Calculamos o limite de
quando
tende a
e a
:
Então, a função tem uma assíntota horizontal em
.
Passo 5
Agora, vamos ver se há assíntotas verticais. Assíntotas verticais acontecem onde a função não está definida, geralmente onde o denominador é zero. Olhando para a função:
Isso não tem solução real, então não existem assíntotas verticais para essa função.
Passo 6
Vamos discutir a continuidade da função. Uma função é contínua quando você pode desenhá-la sem levantar o lápis do papel. Aqui, nosso denominador
nunca é zero, então a função está definida para todos os valores de
. Além disso, não há pontos de descontinuidade, saltos ou buracos no gráfico. Portanto,
é contínua em todo o seu domínio.
Passo 7
Por fim, vamos pensar nos limites para ter uma ideia de como o gráfico se comporta:
- Quando
se aproxima de , . - À medida que
aumenta ou diminui sem limites, se aproxima de (a assíntota horizontal).
Resposta
O gráfico da função
tem um intercepto no eixo
em
, não possui interceptos no eixo
, possui uma assíntota horizontal em
, não tem assíntotas verticais e é contínua para todos os valores de
. O comportamento do gráfico mostra que, perto de
, a função vale 1 e à medida que
vai para mais ou menos infinito,
se aproxima de 0.
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Uma antena parabólica de televisão foi construída girando a parábola de equação
com
em torno do seu eixo de simetria. Nestas condições:
Dê as coordenadas do ponto F onde deve ser instalado o receptor da antena.
Dê as coordenadas do ponto F onde deve ser instalado o receptor da antena.
em relação ao comprimento do arco medido a partir do ponto
na direção crescente de
. Expresse a reparametrização em sua forma mais simples. O que você pode concluir sobre a curva?
17-20
(a) Determine os vetores tangente e normal unitários e
.
17-20
(a) Determine os vetores tangente e normal unitários
Para cada função, quando necessário, use o conceito de limite para esboçar o gráfico de f. Registre os interceptos OX e OY, as assíntotas horizontal e vertical (caso existam), e discuta a continuidade.
f(x)=|x-1|+|2-x|+|x-3|
f(x)=|x-1|+|2-x|+|x-3|
7-14 Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro
cresce.
7.
7.