Para cada função, quando necessário, use o conceito de limite para esboçar o gráfico de f. Registre os interceptos OX e OY, as assíntotas horizontal e vertical (caso existam), e discuta a continuidade.
f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função . O que precisamos fazer é esboçar o gráfico dela usando limites, encontrar os interceptos nos eixos e , identificar possíveis assíntotas horizontais e verticais, e falar sobre a continuidade da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os interceptos. O intercepto no eixo ocorre quando . Então, substituímos por 0 na função:
Então, o intercepto no é o ponto .

Passo 3

Agora, para encontrar os interceptos no eixo , a gente faz e resolve para :
Mas, olha só, nunca vai ser zero porque o denominador é sempre maior que zero. Então, essa função não tem intercepto no eixo .

Passo 4

Vamos procurar as assíntotas horizontais. As assíntotas horizontais representam o comportamento da função quando vai para mais ou menos infinito. Calculamos o limite de quando tende a e a :
Então, a função tem uma assíntota horizontal em .

Passo 5

Agora, vamos ver se há assíntotas verticais. Assíntotas verticais acontecem onde a função não está definida, geralmente onde o denominador é zero. Olhando para a função:
Isso não tem solução real, então não existem assíntotas verticais para essa função.

Passo 6

Vamos discutir a continuidade da função. Uma função é contínua quando você pode desenhá-la sem levantar o lápis do papel. Aqui, nosso denominador nunca é zero, então a função está definida para todos os valores de . Além disso, não há pontos de descontinuidade, saltos ou buracos no gráfico. Portanto, é contínua em todo o seu domínio.

Passo 7

Por fim, vamos pensar nos limites para ter uma ideia de como o gráfico se comporta:
  • Quando se aproxima de , .
  • À medida que aumenta ou diminui sem limites, se aproxima de (a assíntota horizontal).

Resposta

O gráfico da função tem um intercepto no eixo em , não possui interceptos no eixo , possui uma assíntota horizontal em , não tem assíntotas verticais e é contínua para todos os valores de . O comportamento do gráfico mostra que, perto de , a função vale 1 e à medida que vai para mais ou menos infinito, se aproxima de 0.

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Dê as coordenadas do ponto F onde deve ser instalado o receptor da antena.
em relação ao comprimento do arco medido a partir do ponto na direção crescente de . Expresse a reparametrização em sua forma mais simples. O que você pode concluir sobre a curva?
17-20
(a) Determine os vetores tangente e normal unitários e .
Para cada função, quando necessário, use o conceito de limite para esboçar o gráfico de f. Registre os interceptos OX e OY, as assíntotas horizontal e vertical (caso existam), e discuta a continuidade.
f(x)=|x-1|+|2-x|+|x-3|
7-14 Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.
7.