14-Escreva a função onda espacial do átomo de Hidrogênio correspondem ao estado energético com n=2, l=1 e m=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever a função onda espacial do átomo de Hidrogênio para o estado energético com os números quânticos , e . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre os números quânticos, funções radiais e harmônicas esféricas que compõem a função onda do Hidrogênio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são os números quânticos , e .
  • é o número quântico principal e está relacionado com a energia do elétron e o tamanho da órbita.
  • é o número quântico azimutal, que está ligado ao momento angular do elétron.
  • é o número quântico magnético, que descreve a orientação do momento angular no espaço.
Nesse caso, temos , e .

Passo 3

A função onda do átomo de Hidrogênio pode ser separada em duas partes principais: a parte radial Psin,l,m(r, theta, phi) = Rn,l(r) cdot Yl,m(theta, phi) e a parte angular , que são as harmônicas esféricas. Então, a função onda total é dada por:
Vamos encontrar cada uma dessas partes para os valores dados de , e .

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar a parte radial Rn,l(r) = raiz(2a0)^3 cdot (n - l - 1)!2n[(n + l)!] cdot (2rn a0)^l cdot e^-r/(n a0) cdot Ln - l - 1^2l + 1(2rn a0) . A função radial para o átomo de Hidrogênio é dada por:
Onde R2,1(r) = 1raiz24 a0^3 cdot 2ra0 cdot e^-r/(2 a0) cdot (1 - r2 a0) é o raio de Bohr e são os polinômios de Laguerre.
Para e , simplificando os termos:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a parte angular Y1,0(theta, phi) = raiz34pi cdot costheta . As harmônicas esféricas para e são dadas por:

Resposta

Juntando as partes radial e angular, a função onda espacial do átomo de Hidrogênio para Psi2,1,0(r, theta, phi) = 1raiz24 a0^3 cdot 2ra0 cdot e^-r/(2 a0) cdot (1 - r2 a0) cdot raiz34pi cdot costheta , e é:

Exercícios relacionados