Encontre os pontos e valores máximos e mínimos globais de
no intervalo dado.
(h)
.
(h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é encontrar os pontos onde a função
atinge seus valores máximos e mínimos no intervalo de
entre 0 e 4. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas e análise de funções em intervalos fechados.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a identificar onde a função pode ter pontos de máximo ou mínimo.
A função é:
A derivada de
é 1, e a derivada de
é
. Então, aplicando a regra de derivação:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, onde a derivada é zero ou indefinida. Nesse caso,
está definida para todos os
, então vamos igualar a derivada a zero:
Resolvendo a equação:
Como nosso intervalo é de 0 a 4, descartamos
. Portanto, o único ponto crítico no intervalo é
.
Passo 4
Vamos agora avaliar a função
nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo para determinar os valores máximos e mínimos.
- No ponto
:
- No ponto
:
Sabemos que
, então:
- No ponto
:
Calculando
aproximadamente:
Então:
Resposta
No intervalo de
a
, a função
atinge:
- Máximo global em
com valor aproximado de . - Mínimo global em
com valor aproximado de .