Encontre os pontos e valores máximos e mínimos globais de f no intervalo dado.
(h) f(x)=x-2 tan ^-1 x, [0,4].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é encontrar os pontos onde a função atinge seus valores máximos e mínimos no intervalo de entre 0 e 4. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas e análise de funções em intervalos fechados.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função f(x) = x - 2 tan^-1(x) . A derivada nos ajuda a identificar onde a função pode ter pontos de máximo ou mínimo.
A função é:
f'(x) = ddx ( x ) - 2 cdot ddx ( tan^-1(x) )
A derivada de f'(x) = 1 - 21 + x^2 é 1, e a derivada de é . Então, aplicando a regra de derivação:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, onde a derivada é zero ou indefinida. Nesse caso, 1 - 21 + x^2 = 0 está definida para todos os 1 = 21 + x^2 , então vamos igualar a derivada a zero:
1 + x^2 = 2
Resolvendo a equação:
x^2 = 1
x = pm 1
Como nosso intervalo é de 0 a 4, descartamos . Portanto, o único ponto crítico no intervalo é .

Passo 4

Vamos agora avaliar a função f(0) = 0 - 2 tan^-1(0) = 0 - 2 cdot 0 = 0 nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo para determinar os valores máximos e mínimos.
  1. No ponto f(1) = 1 - 2 tan^-1(1) :
f(1) = 1 - 2 cdot pi4 = 1 - pi2 approx 1 - 1,5708 approx -0,5708
  1. No ponto f(4) = 4 - 2 tan^-1(4) :
tan^-1(4) approx 1,3258
Sabemos que f(4) = 4 - 2 cdot 1,3258 approx 4 - 2,6516 approx 1,3484 , então:
  1. No ponto :
Calculando aproximadamente:
Então:

Resposta

No intervalo de a , a função atinge:
  • Máximo global em com valor aproximado de .
  • Mínimo global em com valor aproximado de .

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