8- Em um oscilador harmônico clássico, a partícula não pode ir além dos pontos em que a energia total é igual à energia potencial. Classicamente, esses pontos são conhecidos como pontos de retorno. Considere uma partícula que possui a energia do estado fundamental do oscilador harmônico quântico.
b. No caso quântico, indique como poderia ser obtida a probabilidade de encontrar a partícula na região proibida classicamente.
b. No caso quântico, indique como poderia ser obtida a probabilidade de encontrar a partícula na região proibida classicamente.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Estamos tratando de um oscilador harmônico quântico no estado fundamental, que é o estado de menor energia possível. Na física clássica, sabemos que a partícula em um oscilador harmônico não pode ir além de certos pontos chamados pontos de retorno, onde a energia total é igual à energia potencial. Esses pontos delimitam a região onde a partícula se move. A pergunta quer saber como calcular a probabilidade de, no caso quântico, encontrar a partícula na região além desses pontos de retorno, ou seja, na região proibida clássicamente.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
- A função de onda do estado fundamental do oscilador harmônico quântico.
- Como calcular probabilidades a partir da função de onda.
- Definir os pontos de retorno clássicos para o estado fundamental.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a função de onda para o estado fundamental de um oscilador harmônico quântico. A função de onda é uma função que descreve a probabilidade de encontrar a partícula em uma certa posição. Para o estado fundamental, a função de onda é dada por:
Aqui:
-
é a massa da partícula. -
é a frequência angular do oscilador. -
é a constante de Planck reduzida. -
é a posição.
Passo 3
Em seguida, precisamos determinar os pontos de retorno clássicos para o estado fundamental. Na física clássica, a energia total
de um oscilador harmônico é a soma da energia cinética e da energia potencial
:
Onde
é a amplitude máxima da oscilação, ou seja, a posição dos pontos de retorno. Para o estado fundamental quântico, a energia é:
Igualando as duas expressões para
, temos:
Resolvendo para
:
Então, os pontos de retorno clássicos estão em
.
Passo 4
Agora, para encontrar a probabilidade de encontrar a partícula na região proibida clássicamente, ou seja, onde
, precisamos calcular a integral do módulo ao quadrado da função de onda nessa região. A probabilidade
é dada por:
O fator 2 aparece porque a região proibida ocorre tanto para
quanto para
, e as duas regiões são simétricas.
Passo 5
Vamos agora substituir a função de onda na expressão da probabilidade:
Portanto,
Passo 6
Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição para simplificar. Vamos definir:
Então,
Substituindo na integral:
Onde
.
Passo 7
Simplificando os termos constantes:
Então,
Essa integral é conhecida como a função de erro complementar, denotada por
, onde:
Passo 8
Substituindo de volta, temos:
Lembrando que
e que
, então:
Portanto,
Sabemos que
.
Resposta
A probabilidade de encontrar a partícula na região proibida classicamente é aproximadamente 15,7 %.