8- Em um oscilador harmônico clássico, a partícula não pode ir além dos pontos em que a energia total é igual à energia potencial. Classicamente, esses pontos são conhecidos como pontos de retorno. Considere uma partícula que possui a energia do estado fundamental do oscilador harmônico quântico.
b. No caso quântico, indique como poderia ser obtida a probabilidade de encontrar a partícula na região proibida classicamente.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Estamos tratando de um oscilador harmônico quântico no estado fundamental, que é o estado de menor energia possível. Na física clássica, sabemos que a partícula em um oscilador harmônico não pode ir além de certos pontos chamados pontos de retorno, onde a energia total é igual à energia potencial. Esses pontos delimitam a região onde a partícula se move. A pergunta quer saber como calcular a probabilidade de, no caso quântico, encontrar a partícula na região além desses pontos de retorno, ou seja, na região proibida clássicamente.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  • A função de onda do estado fundamental do oscilador harmônico quântico.
  • Como calcular probabilidades a partir da função de onda.
  • Definir os pontos de retorno clássicos para o estado fundamental.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a função de onda para o estado fundamental de um oscilador harmônico quântico. A função de onda é uma função que descreve a probabilidade de encontrar a partícula em uma certa posição. Para o estado fundamental, a função de onda é dada por:
psi0(x) = ( momegapi hbar )^1/4 e^-momega x^22hbar
Aqui:
  • é a massa da partícula.
  • é a frequência angular do oscilador.
  • é a constante de Planck reduzida.
  • é a posição.

Passo 3

Em seguida, precisamos determinar os pontos de retorno clássicos para o estado fundamental. Na física clássica, a energia total E = 12 m omega^2 A^2 de um oscilador harmônico é a soma da energia cinética e da energia potencial E = 12 hbar omega :
12 hbar omega = 12 m omega^2 A^2
Onde A = raiz hbarm omega é a amplitude máxima da oscilação, ou seja, a posição dos pontos de retorno. Para o estado fundamental quântico, a energia é:
Igualando as duas expressões para , temos:
Resolvendo para :
Então, os pontos de retorno clássicos estão em .

Passo 4

Agora, para encontrar a probabilidade de encontrar a partícula na região proibida clássicamente, ou seja, onde P = 2 integralA^infty |psi0(x)|^2 dx , precisamos calcular a integral do módulo ao quadrado da função de onda nessa região. A probabilidade é dada por:
O fator 2 aparece porque a região proibida ocorre tanto para quanto para , e as duas regiões são simétricas.

Passo 5

Vamos agora substituir a função de onda na expressão da probabilidade:
|psi0(x)|^2 = ( momegapi hbar )^1/2 e^-momega x^2hbar
Portanto,
P = 2 ( momegapi hbar )^1/2 integralA^infty e^-momega x^2hbar dx

Passo 6

Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição para simplificar. Vamos definir:
y = raiz momegahbar x
Então,
dy = raiz momegahbar dx Rightarrow dx = raiz hbarmomega dy
Substituindo na integral:
P = 2 ( momegapi hbar )^1/2 raiz hbarmomega integralyA^infty e^-y^2 dy
Onde .

Passo 7

Simplificando os termos constantes:
( momegapi hbar )^1/2 raiz hbarmomega = 1raizpi
Então,
P = 2raizpi integralyA^infty e^-y^2 dy
Essa integral é conhecida como a função de erro complementar, denotada por erfc(yA) = 2raizpi integralyA^infty e^-y^2 dy , onde:

Passo 8

Substituindo de volta, temos:
P = erfc(yA)
Lembrando que yA = raiz momegahbar times raiz hbarm omega = 1 e que P = erfc(1) , então:
Portanto,
Sabemos que .

Resposta

A probabilidade de encontrar a partícula na região proibida classicamente é aproximadamente 15,7 %.

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