Para cada uma das funções a seguir, determine: (i) Os intervalos nos quais
é crescente ou decrescimento, (ii) Os valores de máximo e mínimo local de
, (iii) Os intervalos nos quais
possui concavidade para baixo ou para cima e os pontos de inflexão, se existirem.
Passo 1
Então, temos a função
. O exercício pede para a gente descobrir três coisas sobre ela:
- Onde a função está crescendo ou decrescendo;
- Os valores máximos e mínimos locais da função;
- Onde a função é côncava para cima ou para baixo e se tem pontos de inflexão.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas primeira e segunda. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada primeira da função
. A derivada nos ajuda a entender onde a função está crescendo ou decrescendo.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, para descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos analisar o sinal da derivada primeira
.
Vamos resolver
para achar onde está crescendo e
para onde está decrescendo.
Primeiro, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 4
Agora, vamos analisar os intervalos determinados por esses pontos críticos:
,
,
e
.
Escolhemos um valor teste em cada intervalo para verificar o sinal de
:
-
Intervalo
: Vamos escolher : Então,está decrescendo nesse intervalo. -
Intervalo
: Vamos escolher : Então,está crescendo nesse intervalo. -
Intervalo
: Vamos escolher : Então,está decrescendo nesse intervalo. -
Intervalo
: Vamos escolher : Então,está crescendo nesse intervalo.
Passo 5
Com essas informações, podemos identificar os valores máximos e mínimos locais.
- Em
: A derivada passa de negativa para positiva, indicando um mínimo local. - Em
: A derivada muda de positiva para negativa, indicando um máximo local. - Em
: A derivada passa de negativa para positiva, indicando um mínimo local.
Vamos calcular os valores desses pontos substituindo na função
:
-
: -
: -
:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a derivada segunda
para estudar a concavidade e pontos de inflexão.
Calculando a derivada segunda:
Passo 7
Para determinar onde a função é côncava para cima ou para baixo, analisamos o sinal de
.
Primeiro, igualamos a derivada segunda a zero para encontrar possíveis pontos de inflexão:
Passo 8
Agora, analisamos os intervalos determinados por esses pontos:
,
e
.
Escolhemos um valor teste em cada intervalo:
-
Intervalo
: Vamos escolher : Então, a função é côncava para cima nesse intervalo. -
Intervalo
: Vamos escolher : Ent��o, a função é côncava para baixo nesse intervalo. -
Intervalo
: Vamos escolher : Então, a função é côncava para cima nesse intervalo.
Passo 9
Por fim, os pontos onde a concavidade muda são os pontos de inflexão, que ocorrem em
.
Vamos calcular as coordenadas desses pontos:
-
: -
:
Resposta
-
Crescimento e Decrescimento:
- Cresce em
e ; - Decresce em
e .
- Cresce em
-
Máximos e Mínimos Locais:
- Máximo local em
com valor ; - Mínimos locais em
e , ambos com valor .
- Máximo local em
-
Concavidade e Pontos de Inflexão:
- Côncava para cima em
e ; - Côncava para baixo em
; - Pontos de inflexão em
e .
- Côncava para cima em
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b. O comprimento de onda necessário para excitar a molécula para a vibração.
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