Para cada uma das funções a seguir, determine: (i) Os intervalos nos quais é crescente ou decrescimento, (ii) Os valores de máximo e mínimo local de , (iii) Os intervalos nos quais possui concavidade para baixo ou para cima e os pontos de inflexão, se existirem.

Passo 1

Então, temos a função . O exercício pede para a gente descobrir três coisas sobre ela:
  1. Onde a função está crescendo ou decrescendo;
  2. Os valores máximos e mínimos locais da função;
  3. Onde a função é côncava para cima ou para baixo e se tem pontos de inflexão.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas primeira e segunda. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada primeira da função . A derivada nos ajuda a entender onde a função está crescendo ou decrescendo.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, para descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos analisar o sinal da derivada primeira .
Vamos resolver para achar onde está crescendo e para onde está decrescendo.
Primeiro, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 4

Agora, vamos analisar os intervalos determinados por esses pontos críticos: , , e .
Escolhemos um valor teste em cada intervalo para verificar o sinal de :
  1. Intervalo : Vamos escolher :
    Então, está decrescendo nesse intervalo.
  2. Intervalo : Vamos escolher :
    Então, está crescendo nesse intervalo.
  3. Intervalo : Vamos escolher :
    Então, está decrescendo nesse intervalo.
  4. Intervalo : Vamos escolher :
    Então, está crescendo nesse intervalo.

Passo 5

Com essas informações, podemos identificar os valores máximos e mínimos locais.
  • Em : A derivada passa de negativa para positiva, indicando um mínimo local.
  • Em : A derivada muda de positiva para negativa, indicando um máximo local.
  • Em : A derivada passa de negativa para positiva, indicando um mínimo local.
Vamos calcular os valores desses pontos substituindo na função :
  1. :
  2. :
  3. :

Passo 6

Agora, vamos encontrar a derivada segunda para estudar a concavidade e pontos de inflexão.
Calculando a derivada segunda:

Passo 7

Para determinar onde a função é côncava para cima ou para baixo, analisamos o sinal de .
Primeiro, igualamos a derivada segunda a zero para encontrar possíveis pontos de inflexão:

Passo 8

Agora, analisamos os intervalos determinados por esses pontos: , e .
Escolhemos um valor teste em cada intervalo:
  1. Intervalo : Vamos escolher :
    Então, a função é côncava para cima nesse intervalo.
  2. Intervalo : Vamos escolher :
    Ent��o, a função é côncava para baixo nesse intervalo.
  3. Intervalo : Vamos escolher :
    Então, a função é côncava para cima nesse intervalo.

Passo 9

Por fim, os pontos onde a concavidade muda são os pontos de inflexão, que ocorrem em .
Vamos calcular as coordenadas desses pontos:
  1. :
  2. :

Resposta

  1. Crescimento e Decrescimento:
    • Cresce em e ;
    • Decresce em e .
  2. Máximos e Mínimos Locais:
    • Máximo local em com valor ;
    • Mínimos locais em e , ambos com valor .
  3. Concavidade e Pontos de Inflexão:
    • Côncava para cima em e ;
    • Côncava para baixo em ;
    • Pontos de inflexão em e .

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