Para cada uma das funções a seguir, determine: (i) Os intervalos nos quais f é crescente ou decrescimento, (ii) Os valores de máximo e mínimo local de f, (iii) Os intervalos nos quais f possui concavidade para baixo ou para cima e os pontos de inflexão, se existirem. f(x)=x^4-2 x^2+3

Passo 1

Então, temos a função . O exercício pede para a gente descobrir três coisas sobre ela:
  1. Onde a função está crescendo ou decrescendo;
  2. Os valores máximos e mínimos locais da função;
  3. Onde a função é côncava para cima ou para baixo e se tem pontos de inflexão.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas primeira e segunda. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada primeira da função f'(x) = ddx(x^4 - 2x^2 + 3) = 4x^3 - 4x . A derivada nos ajuda a entender onde a função está crescendo ou decrescendo.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, para descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos analisar o sinal da derivada primeira 4x^3 - 4x = 0 4x(x^2 - 1) = 0 x = 0 ou x = pm1 .
Vamos resolver para achar onde está crescendo e para onde está decrescendo.
Primeiro, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 4

Agora, vamos analisar os intervalos determinados por esses pontos críticos: f'(-2) = 4(-2)^3 - 4(-2) = -32 + 8 = -24 (negativo) , f'(-0.5) = 4(-0.5)^3 - 4(-0.5) = -0.5 + 2 = 1.5 (positivo) , f'(0.5) = 4(0.5)^3 - 4(0.5) = 0.5 - 2 = -1.5 (negativo) e f'(2) = 4(2)^3 - 4(2) = 32 - 8 = 24 (positivo) .
Escolhemos um valor teste em cada intervalo para verificar o sinal de :
  1. Intervalo : Vamos escolher :
    Então, está decrescendo nesse intervalo.
  2. Intervalo : Vamos escolher :
    Então, está crescendo nesse intervalo.
  3. Intervalo : Vamos escolher :
    Então, está decrescendo nesse intervalo.
  4. Intervalo : Vamos escolher :
    Então, está crescendo nesse intervalo.

Passo 5

Com essas informações, podemos identificar os valores máximos e mínimos locais.
  • Em f(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2 : A derivada passa de negativa para positiva, indicando um mínimo local.
  • Em f(0) = 0^4 - 2(0)^2 + 3 = 0 - 0 + 3 = 3 : A derivada muda de positiva para negativa, indicando um máximo local.
  • Em f(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2 : A derivada passa de negativa para positiva, indicando um mínimo local.
Vamos calcular os valores desses pontos substituindo na função :
  1. :
  2. :
  3. :

Passo 6

Agora, vamos encontrar a derivada segunda f''(x) = ddx(4x^3 - 4x) = 12x^2 - 4 para estudar a concavidade e pontos de inflexão.
Calculando a derivada segunda:

Passo 7

Para determinar onde a função é côncava para cima ou para baixo, analisamos o sinal de 12x^2 - 4 = 0 12x^2 = 4 x^2 = 412 = 13 x = pm raiz33 .
Primeiro, igualamos a derivada segunda a zero para encontrar possíveis pontos de inflexão:

Passo 8

Agora, analisamos os intervalos determinados por esses pontos: f''(-1) = 12(-1)^2 - 4 = 12 - 4 = 8 (positivo) , f''(0) = 12(0)^2 - 4 = 0 - 4 = -4 (negativo) e f''(1) = 12(1)^2 - 4 = 12 - 4 = 8 (positivo) .
Escolhemos um valor teste em cada intervalo:
  1. Intervalo : Vamos escolher :
    Então, a função é côncava para cima nesse intervalo.
  2. Intervalo : Vamos escolher :
    Ent��o, a função é côncava para baixo nesse intervalo.
  3. Intervalo : Vamos escolher :
    Então, a função é côncava para cima nesse intervalo.

Passo 9

Por fim, os pontos onde a concavidade muda são os pontos de inflexão, que ocorrem em f(raiz33) = (raiz33)^4 - 2(raiz33)^2 + 3 = 981 - 2 cdot 39 + 3 = 19 - 23 + 3 = 19 - 69 + 279 = 229 .
Vamos calcular as coordenadas desses pontos:
  1. f(-raiz33) = (-raiz33)^4 - 2(-raiz33)^2 + 3 = 981 - 2 cdot 39 + 3 = 19 - 69 + 279 = 229 :
  2. :

Resposta

  1. Crescimento e Decrescimento:
    • Cresce em e ;
    • Decresce em e .
  2. Máximos e Mínimos Locais:
    • Máximo local em com valor ;
    • Mínimos locais em e , ambos com valor .
  3. Concavidade e Pontos de Inflexão:
    • Côncava para cima em e ;
    • Côncava para baixo em ;
    • Pontos de inflexão em e .

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