6- Uma partícula que vive em uma dimensão espacial tem a função de onda
onde
e b são parâmetros reais (
). (a) Normalizar a função de onda dessa partícula, assim achar A como função de outros parâmetros.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para normalizar a função de onda de uma partícula que está se movendo em uma dimensão espacial. A função de onda dada é:
Aqui,
,
e
são parâmetros reais, com
. A normalização da função de onda é um conceito da Mecânica Quântica que garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja igual a 1. Para isso, vamos precisar usar o conceito de integral e propriedades das funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a condição de normalização para uma função de onda
. A condição é que a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço seja igual a 1:
Isso significa que a área sob o gráfico de
deve ser igual a 1, garantindo que a partícula exista em algum lugar no espaço.
Passo 3
Vamos calcular o módulo ao quadrado da função de onda
. Dada a função:
O módulo ao quadrado é:
Onde
é o conjugado complexo de
. Calculando:
Multiplicando
por
:
Simplificando os expoentes:
Note que o termo
se cancela, já que
.
Passo 4
Agora, aplicamos a condição de normalização:
Como
é uma função par (simétrica em relação a
), podemos simplificar a integral de
a
para duas vezes a integral de 0 a
:
Agora, precisamos calcular a integral:
Essa é uma integral padrão conhecida na matemática, cuja solução é:
No nosso caso,
e
, então:
Passo 5
Substituindo o resultado da integral de volta na condição de normalização:
Simplificando:
Agora, resolvemos para
:
Finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar
:
Resposta
A constante de normalização
em função de
é: