6- Uma partícula que vive em uma dimensão espacial tem a função de onda
psi(x)=A x exp (i k x-b |x|2)
onde A, k e b são parâmetros reais ( b<0 ). (a) Normalizar a função de onda dessa partícula, assim achar A como função de outros parâmetros.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para normalizar a função de onda de uma partícula que está se movendo em uma dimensão espacial. A função de onda dada é:
psi(x) = A x exp(i k x - b |x|2)
Aqui, A, k e b são parâmetros reais, com b < 0. A normalização da função de onda é um conceito da Mecânica Quântica que garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja igual a 1. Para isso, vamos precisar usar o conceito de integral e propriedades das funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a condição de normalização para uma função de onda psi(x). A condição é que a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço seja igual a 1:
integral-infty^+infty |psi(x)|^2 , dx = 1
Isso significa que a área sob o gráfico de |psi(x)|^2 deve ser igual a 1, garantindo que a partícula exista em algum lugar no espaço.

Passo 3

Vamos calcular o módulo ao quadrado da função de onda psi(x). Dada a função:
psi(x) = A x exp(i k x - b |x|2)
O módulo ao quadrado é:
|psi(x)|^2 = psi(x) cdot psi^*(x)
Onde psi^*(x) é o conjugado complexo de psi(x). Calculando:
psi^*(x) = A x exp(-i k x - b |x|2)
Multiplicando psi(x) por psi^*(x):
|psi(x)|^2 = A^2 x^2 exp(i k x - b |x|2) exp(-i k x - b |x|2)
Simplificando os expoentes:
|psi(x)|^2 = A^2 x^2 exp(- b |x|)
Note que o termo i k x se cancela, já que i k x - i k x = 0.

Passo 4

Agora, aplicamos a condição de normalização:
integral-infty^+infty |psi(x)|^2 , dx = integral-infty^+infty A^2 x^2 exp(- b |x|) , dx = 1
Como |psi(x)|^2 é uma função par (simétrica em relação a x=0), podemos simplificar a integral de -infty a +infty para duas vezes a integral de 0 a +infty:
2 A^2 integral0^+infty x^2 exp(- b x) , dx = 1
Agora, precisamos calcular a integral:
integral0^+infty x^2 e^-b x , dx
Essa é uma integral padrão conhecida na matemática, cuja solução é:
integral0^+infty x^n e^-a x , dx = n!a^n+1
No nosso caso, n=2 e a=b, então:
integral0^+infty x^2 e^-b x , dx = 2!b^3 = 2b^3

Passo 5

Substituindo o resultado da integral de volta na condição de normalização:
2 A^2 ( 2b^3 ) = 1
Simplificando:
4 A^2b^3 = 1
Agora, resolvemos para A^2:
A^2 = b^34
Finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar A:
A = b^3/22

Resposta

A constante de normalização A em função de b é:
A = b^3/22

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