1. integral0^1(raiz[4]u+1)^2 d u

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado a Cálculo Integral, especificamente à integração de funções polinomiais. Para resolver, vamos precisar expandir a expressão dentro da integral e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a expressão (raiz[4]u + 1)^2 = (raiz[4]u)^2 + 2 cdot raiz[4]u cdot 1 + 1^2 = u^1/2 + 2u^1/4 + 1 . Lembra que é o mesmo que . Então, usando a fórmula do quadrado da soma , temos:

Passo 3

Agora, substituímos a expressão expandida na integral:
integral0^1 (raiz[4]u + 1)^2 , du = integral0^1 ( u^1/2 + 2u^1/4 + 1 ) , du
Isso significa que vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 4

Vamos integrar cada termo:
  1. Integrando integral u^1/2 , du = u^(1/2) + 1(1/2) + 1 = u^3/23/2 = 23u^3/2 :
    integral 2u^1/4 , du = 2 cdot u^(1/4) + 1(1/4) + 1 = 2 cdot u^5/45/4 = 85u^5/4
  2. Integrando integral 1 , du = u :
  3. Integrando :

Passo 5

Agora, juntamos as integrais calculadas:
integral0^1 (raiz[4]u + 1)^2 , du = [ 23u^3/2 + 85u^5/4 + u ]0^1
Isso significa que precisamos avaliar essa expressão de e e depois fazer a subtração.

Passo 6

Vamos substituir os limites de integração:
  1. Para 23(1)^3/2 + 85(1)^5/4 + 1 = 23 + 85 + 1 = 23 + 85 + 1515 = 1015 + 2415 + 1515 = 4915 :
    23(0)^3/2 + 85(0)^5/4 + 0 = 0 + 0 + 0 = 0
  2. Para :

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

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