Calcule o limite,
, quando existir. Caso contrário, justifique.
Passo 1
Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite
quando
se aproxima de
para a função
. O conteúdo aqui envolve limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos verificar se o limite existe e, se existir, encontrar o valor usando substituição e análise de comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir diretamente os valores
e
na função para ver se conseguimos um valor definido:
Aqui, estamos tentando dividir por zero, o que não é definido. Isso já sugere que o limite pode não existir ou pode tender ao infinito.
Passo 3
Como a substituição direta resultou em uma indeterminação, vamos analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos de
por diferentes caminhos. Se o limite for o mesmo independentemente do caminho escolhido, o limite existe.
Vamos considerar dois caminhos diferentes:
Caminho 1:
Substituindo
, temos:
Quando
, o denominador
. Dependendo de como
se aproxima de 1, o valor da função pode tender a
ou
.
Caminho 2:
Substituindo
, temos:
Aqui, quando
,
, então a expressão tende a
.
Passo 4
Observando os dois caminhos:
- Pelo caminho
, dependendo de como se aproxima de 1, o limite pode ser ou . - Pelo caminho
, o limite é sempre .
Já que diferentes caminhos levam a comportamentos diferentes, o limite não existe de maneira geral.
Resposta
O limite não existe porque a função tende a valores diferentes dependendo do caminho pelo qual
se aproxima de
.
Exercícios relacionados
Obtenha o maior subconjunto de
ou
, no qual a função é contínua
Considere
. Caso
, diga se
admite extensão contínua a
, ou seja, se existe função
contínua tal que
para todo
.