Calcule o limite, , quando existir. Caso contrário, justifique.

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando se aproxima de para a função . O conteúdo aqui envolve limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos verificar se o limite existe e, se existir, encontrar o valor usando substituição e análise de comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente os valores e na função para ver se conseguimos um valor definido:
Aqui, estamos tentando dividir por zero, o que não é definido. Isso já sugere que o limite pode não existir ou pode tender ao infinito.

Passo 3

Como a substituição direta resultou em uma indeterminação, vamos analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos. Se o limite for o mesmo independentemente do caminho escolhido, o limite existe.
Vamos considerar dois caminhos diferentes:
Caminho 1:
Substituindo , temos:
Quando , o denominador . Dependendo de como se aproxima de 1, o valor da função pode tender a ou .
Caminho 2:
Substituindo , temos:
Aqui, quando , , então a expressão tende a .

Passo 4

Observando os dois caminhos:
  • Pelo caminho , dependendo de como se aproxima de 1, o limite pode ser ou .
  • Pelo caminho , o limite é sempre .
Já que diferentes caminhos levam a comportamentos diferentes, o limite não existe de maneira geral.

Resposta

O limite não existe porque a função tende a valores diferentes dependendo do caminho pelo qual se aproxima de .

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