1. integral0^1 v^2 cos (v^3) d v

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a integral . Isso está dentro da matéria de cálculo integral, mais especificamente sobre técnicas de substituição. Para resolver isso, vamos precisar usar a substituição e entender como mudar as varições na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição. Definimos du = 3v^2 dv . Agora, precisamos encontrar v^2 dv = 13 du , que é a derivada de em relação a . Então, derivando, temos:
Para isolar , dividimos ambos os lados por 3:

Passo 3

Agora, vamos mudar os limites de integração de u = 0^3 = 0 para u = 1^3 = 1 . Quando :
E quando :
Então, os novos limites para continuam sendo de 0 a 1.

Passo 4

Substituímos tudo na integral original:
integral0^1 v^2 cos (v^3) dv = integral0^1 cos(u) cdot 13 du
Podemos tirar a constante 13 integral0^1 cos(u) du pra fora da integral:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral integral0^1 cos(u) du = sin(u) |0^1 = sin(1) - sin(0) . A antiderivada de sin(1) - 0 = sin(1) é , então:
Como , fica:

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

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