Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a integral . Isso está dentro da matéria de cálculo integral, mais especificamente sobre técnicas de substituição. Para resolver isso, vamos precisar usar a substituição e entender como mudar as varições na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição. Definimos . Agora, precisamos encontrar , que é a derivada de em relação a . Então, derivando, temos:
Para isolar , dividimos ambos os lados por 3:

Passo 3

Agora, vamos mudar os limites de integração de para . Quando :
E quando :
Então, os novos limites para continuam sendo de 0 a 1.

Passo 4

Substituímos tudo na integral original:
Podemos tirar a constante pra fora da integral:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral . A antiderivada de é , então:
Como , fica:

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

Exercícios relacionados

Calcule o limite, , quando existir. Caso contrário, justifique.
Obtenha o maior subconjunto de ou , no qual a função é contínua