Demonstre as seguintes identidades trigonométricas:
(d)

Passo 1

Vamos lá! A gente tem que mostrar que . Para isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas básicas, como a relação entre seno e cosseno, e a definição da tangente em termos dessas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que . Então, . Vamos substituir isso na expressão original:

Passo 3

Agora, vamos simplificar . Para isso, colocamos as duas parcelas sobre o mesmo denominador:

Passo 4

Agora, vamos olhar para a segunda parte da expressão original, que é . Sabemos que:

Passo 5

Vamos multiplicar as duas partes que simplificamos:
Os se cancelam:

Passo 6

Lembrando da identidade pitagórica, sabemos que:
Então, . Mas queremos chegar a 1, então precisamos reavaliar.
Na verdade, ao multiplicar por , o resultado é simplesmente . Porém, isso não nos leva diretamente a 1, indicando que talvez haja um erro na abordagem inicial.

Passo 7

Reavaliando, percebemos que:
E sabemos que:
Para que isso seja igual a 1, precisamos que , o que acontece quando é múltiplo de , ou seja, é múltiplo de . Portanto, a identidade não é válida para todos os , mas apenas para certos valores específicos.

Resposta

A identidade é verdadeira somente quando é múltiplo de , ou seja, , onde é um inteiro.

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(e)