Encontre o limite. Use a regra do L lim x 0^+ x^x^2;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar o limite de quando se aproxima de 0 pela direita ( ). Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e regras de cálculo, como a Regra de L’Hôpital. Precisaremos também manipular funções exponenciais e logaritmos.

Passo 2

Para resolver x^x^2 = e^x^2 ln x , vamos primeiro reescrever a expressão de uma forma que facilite o cálculo do limite. Sabemos que limx 0^+ e^x^2 ln x . Então, podemos reescrever como:
Agora, nosso limite fica:

Passo 3

Para calcular esse limite, precisamos primeiro encontrar o limite do expoente limx 0^+ x^2 ln x quando se aproxima de 0 pela direita:
Perceba que quando se aproxima de 0, tende a e tende a 0. Portanto, temos uma forma indeterminada do tipo .

Passo 4

Para resolver essa indeterminação, podemos reescrever a expressão de forma a aplicar a Regra de L’Hôpital. Reescrevendo x^2 ln x = ln x1x^2 :
Agora, temos uma forma do tipo , que é apropriada para aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador:
Derivada do numerador ( ddx (ln x) = 1x ):
ddx ( 1x^2 ) = -2x^3
Derivada do denominador ( limx 0^+ 1x-2x^3 = limx 0^+ -x^22 = 0 ):
Então, o limite fica:

Passo 6

Com o limite do expoente sendo 0, voltamos à expressão original:
limx 0^+ e^x^2 ln x = e^0 = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

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