Encontre o limite. Use a regra do L
;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar o limite de
quando
se aproxima de 0 pela direita (
). Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e regras de cálculo, como a Regra de L’Hôpital. Precisaremos também manipular funções exponenciais e logaritmos.
Passo 2
Para resolver
, vamos primeiro reescrever a expressão de uma forma que facilite o cálculo do limite. Sabemos que
. Então, podemos reescrever
como:
Agora, nosso limite fica:
Passo 3
Para calcular esse limite, precisamos primeiro encontrar o limite do expoente
quando
se aproxima de 0 pela direita:
Perceba que quando
se aproxima de 0,
tende a
e
tende a 0. Portanto, temos uma forma indeterminada do tipo
.
Passo 4
Para resolver essa indeterminação, podemos reescrever a expressão de forma a aplicar a Regra de L’Hôpital. Reescrevendo
:
Agora, temos uma forma do tipo
, que é apropriada para aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 5
Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador:
Derivada do numerador (
):
Derivada do denominador (
):
Então, o limite fica:
Passo 6
Com o limite do expoente sendo 0, voltamos à expressão original:
Resposta
O limite é igual a 1.
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Usando o limite fundamental
. Calcule os seguintes limites:
Calcule os seguintes limites no infinito: