O plano tem equação . Para cada um dos planos determine se e são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a relação entre dois planos no espaço: o plano com equação e o plano com equação . O conteúdo que vamos usar aqui envolve geometria analítica, especificamente a parte que trata de planos no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar identificar os vetores normais de cada plano e verificar se eles são paralelos, perpendiculares ou nenhuma das duas coisas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. Lembra que a equação geral de um plano é dada por , onde o vetor normal é .
Para o plano , o vetor normal é:
Para o plano , o vetor normal é:
Passo 3
Agora, vamos verificar se os planos são paralelos. Dois planos são paralelos se os seus vetores normais são proporcionais, ou seja, se um vetor normal é um múltiplo escalar do outro.
Para achar se existe um número real tal que:
Vamos comparar as componentes:
Resolvendo a primeira equação:
lambda = 24 = 0,5
Verificando a segunda equação com lambda = 0,5:
3 = 0,5 cdot (-1) Rightarrow 3 = -0,5
Isso não é verdade, então os vetores não são proporcionais. Portanto, os planos não são paralelos.
Passo 4
Seguinte, vamos ver se os planos são perpendiculares. Dois planos são perpendiculares se seus vetores normais são ortogonais, ou seja, se o produto escalar deles é igual a zero.