O plano pi 1 tem equação 4 x-y+5 z=2. Para cada um dos planos pi determine se pi 1 e pi são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois.
(a) pi: 2 x+3 y-z=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a relação entre dois planos no espaço: o plano pi1 com equação 4x - y + 5z = 2 e o plano pi com equação 2x + 3y - z = 1. O conteúdo que vamos usar aqui envolve geometria analítica, especificamente a parte que trata de planos no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar identificar os vetores normais de cada plano e verificar se eles são paralelos, perpendiculares ou nenhuma das duas coisas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. Lembra que a equação geral de um plano é dada por Ax + By + Cz = D, onde o vetor normal é n = (A, B, C).
  • Para o plano pi1: 4x - y + 5z = 2, o vetor normal é:
    n1 = (4, -1, 5)
  • Para o plano pi: 2x + 3y - z = 1, o vetor normal é:
    n = (2, 3, -1)

Passo 3

Agora, vamos verificar se os planos são paralelos. Dois planos são paralelos se os seus vetores normais são proporcionais, ou seja, se um vetor normal é um múltiplo escalar do outro.
Para achar se existe um número real lambda tal que:
n = lambda n1
Vamos comparar as componentes:
2 = lambda cdot 4 3 = lambda cdot (-1) -1 = lambda cdot 5
Resolvendo a primeira equação:
lambda = 24 = 0,5
Verificando a segunda equação com lambda = 0,5:
3 = 0,5 cdot (-1) Rightarrow 3 = -0,5
Isso não é verdade, então os vetores não são proporcionais. Portanto, os planos não são paralelos.

Passo 4

Seguinte, vamos ver se os planos são perpendiculares. Dois planos são perpendiculares se seus vetores normais são ortogonais, ou seja, se o produto escalar deles é igual a zero.
Calculando o produto escalar:
n1 cdot n = (4)(2) + (-1)(3) + (5)(-1) = 8 - 3 - 5 = 0
Como o produto escalar deu zero, os vetores normais são perpendiculares. Portanto, os planos são perpendiculares.

Resposta

Os planos pi1 e pi são perpendiculares.

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