Escreva equações vetorial e paramétricas para os seguintes plano:
(d) O plano que passa pelo ponto A=(-5,-2,1) e é paralelo ao plano pi: x=2+3 alpha-2 beta, y=-2+alpha+beta e z=-alpha+beta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente escrever as equações vetorial e paramétricas de um plano que passa pelo ponto x = 2 + 3alpha - 2beta, y = -2 + alpha + beta, z = -alpha + beta e é paralelo a outro plano dado pelas equações paramétricas:
Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar um vetor normal ao plano original e, assim, poder construir o novo plano paralelo que passa pelo ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar dois vetores diretores do plano original v1 = 3 1 -1 , v2 = -2 1 1 . Nas equações paramétricas, os coeficientes de e representam esses vetores diretores. Então, temos:
Esses vetores mostram como o plano se estende nas direções definidas por e .

Passo 3

Agora, para encontrar o vetor normal n = v1 times v2 = i & j & k 3 & 1 & -1 -2 & 1 & 1 ao plano n = i(1 cdot 1 - (-1) cdot 1) - j(3 cdot 1 - (-1) cdot (-2)) + k(3 cdot 1 - 1 cdot (-2)) , vamos calcular o produto vetorial entre n = i(1 + 1) - j(3 - 2) + k(3 + 2) e n = 2i - 1j + 5k :
n = 2 -1 5
Calculando o determinante:
Então, o vetor normal é:

Passo 4

Como queremos um plano paralelo a r = A + su + tv , ele terá o mesmo vetor normal r = -5 -2 1 + s 3 1 -1 + t -2 1 1 . Agora, usando o ponto e o vetor normal, podemos escrever a equação vetorial do novo plano.
A equação vetorial de um plano é dada por:
Onde é o ponto pelo qual passa o plano, e e são vetores diretores qualquer no plano. Podemos usar e como vetores diretores, já que o plano é paralelo.
Então, a equação vetorial fica:

Passo 5

Agora, vamos escrever as equações paramétricas do plano. A equação vetorial nos dá diretamente as equações para x = -5 + 3s - 2t y = -2 + s + t z = 1 - s + t , e em termos de e :
Essas são as equações paramétricas que descrevem o plano solicitado.

Resposta

As equações vetorial e paramétricas do plano são:
Equação Vetorial:
r = -5 -2 1 + s 3 1 -1 + t -2 1 1 , s, t in R
Equações Paramétricas:
x = -5 + 3s - 2t y = -2 + s + t z = 1 - s + t , s, t in R

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