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Seja T in L(V) tal que qualquer v in V-0 é um autovetor de T. Mostre que T=c I, para algum c in F.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar. Temos uma transformação linear no espaço vetorial tal que qualquer vetor não nulo em é um autovetor de . Queremos mostrar que é igual a , onde é um escalar e é a transformação identidade.
Conteúdo necessário:
  • Conceito de transformação linear
  • Definição de autovetor e autovalor
  • Propriedade da transformação identidade

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um vetor ser um autovetor de uma transformação linear. Um vetor T(v) = lambda v é um autovetor de T(v) = lambdav v se existe um escalar tal que:
No nosso caso, todo vetor não nulo é um autovetor. Isso significa que para qualquer , existe um que depende de tal que:

Passo 3

Vamos considerar dois vetores não nulos arbitrários T(u) = lambdau u e T(v) = lambdav v e T(u + v) = lambdau + v (u + v) em T(u + v) = T(u) + T(v) = lambdau u + lambdav v . Segundo a condição da questão:
Agora, consideremos a soma desses vetores . Como também é um vetor não nulo (supondo que e sejam linearmente independentes), temos:
Por propriedade da transformação linear:

Passo 4

Igualando as duas expressões para lambdau + v (u + v) = lambdau u + lambdav v :
lambdau + v = lambdau = lambdav = c
Para que essa igualdade seja válida para quaisquer e , os coeficientes de e devem ser os mesmos. Ou seja:
Isso significa que todos os autovalores são iguais a um mesmo escalar .

Passo 5

Com todos os autovalores iguais a T(v) = c v para todo v in V , podemos reescrever a transformação T = cI como:
Isso é exatamente a definição de uma transformação linear que é múltiplo da identidade . Portanto:

Resposta

, onde é um escalar em .

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