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Seja tal que qualquer é um autovetor de . Mostre que , para algum .

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar. Temos uma transformação linear no espaço vetorial tal que qualquer vetor não nulo em é um autovetor de . Queremos mostrar que é igual a , onde é um escalar e é a transformação identidade.
Conteúdo necessário:
  • Conceito de transformação linear
  • Definição de autovetor e autovalor
  • Propriedade da transformação identidade

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um vetor ser um autovetor de uma transformação linear. Um vetor é um autovetor de se existe um escalar tal que:
No nosso caso, todo vetor não nulo é um autovetor. Isso significa que para qualquer , existe um que depende de tal que:

Passo 3

Vamos considerar dois vetores não nulos arbitrários e em . Segundo a condição da questão:
Agora, consideremos a soma desses vetores . Como também é um vetor não nulo (supondo que e sejam linearmente independentes), temos:
Por propriedade da transformação linear:

Passo 4

Igualando as duas expressões para :
Para que essa igualdade seja válida para quaisquer e , os coeficientes de e devem ser os mesmos. Ou seja:
Isso significa que todos os autovalores são iguais a um mesmo escalar .

Passo 5

Com todos os autovalores iguais a , podemos reescrever a transformação como:
Isso é exatamente a definição de uma transformação linear que é múltiplo da identidade . Portanto:

Resposta

, onde é um escalar em .

Exercícios relacionados

Em cada item abaixo, encontrar uma base para os subespaços
a) .
b) .
c) .
d) .
2
Sejam . Mostre que os autovalores da matriz de blocos
são exatamente os autovalores simultâneon de e .
Dados os pontos e e o vetor , calcular:
Calcule .
Dados os vetores e , calcular:
Calcule .