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Seja
tal que qualquer
é um autovetor de
. Mostre que
, para algum
.
Seja
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar. Temos uma transformação linear
no espaço vetorial
tal que qualquer vetor não nulo em
é um autovetor de
. Queremos mostrar que
é igual a
, onde
é um escalar e
é a transformação identidade.
Conteúdo necessário:
- Conceito de transformação linear
- Definição de autovetor e autovalor
- Propriedade da transformação identidade
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um vetor ser um autovetor de uma transformação linear. Um vetor
é um autovetor de
se existe um escalar
tal que:
No nosso caso, todo vetor não nulo é um autovetor. Isso significa que para qualquer
, existe um
que depende de
tal que:
Passo 3
Vamos considerar dois vetores não nulos arbitrários
e
em
. Segundo a condição da questão:
Agora, consideremos a soma desses vetores
. Como
também é um vetor não nulo (supondo que
e
sejam linearmente independentes), temos:
Por propriedade da transformação linear:
Passo 4
Igualando as duas expressões para
:
Para que essa igualdade seja válida para quaisquer
e
, os coeficientes de
e
devem ser os mesmos. Ou seja:
Isso significa que todos os autovalores
são iguais a um mesmo escalar
.
Passo 5
Com todos os autovalores iguais a
, podemos reescrever a transformação
como:
Isso é exatamente a definição de uma transformação linear que é múltiplo da identidade
. Portanto:
Resposta
Exercícios relacionados
Em cada item abaixo, encontrar uma base para os subespaços
a) .
b) .
c) .
d) .
a)
b)
c)
d)
2
Sejam . Mostre que os autovalores da matriz de blocos
Sejam
são exatamente os autovalores simultâneon de
e
.
Dados os pontos
e
e o vetor
, calcular:
Calcule .
Calcule
Dados os vetores
e
, calcular:
Calcule .
Calcule