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Sejam A in F^n times n. Mostre que os autovalores da matriz de blocos
C=(ll A & B B & A )
são exatamente os autovalores simultâneon de A+B e A-B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que os autovalores da matriz de blocos
C=(ll A & B B & A )
são exatamente os autovalores de A+B e A-B. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como autovalores, matrizes block e propriedades de determinantes. Precisaremos entender como manipular matrizes em blocos e relacionar seus autovalores com os de suas submatrizes.

Passo 2

Primeiro, lembra que para encontrar os autovalores de uma matriz, a gente resolve a equação característica: det(C - lambda I) = 0. Onde lambda é o autovalor e I é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a matriz C - lambda I. Como C é uma matriz de blocos 2 times 2, a identidade I também será expandida para blocos. Então temos:
C - lambda I = (ll A - lambda I & B B & A - lambda I )

Passo 4

Para calcular o determinante dessa matriz de blocos, usamos a fórmula do determinante para matrizes block, que, quando as matrizes diagonais comutam com as fora da diagonal, fica:
det(C - lambda I) = det((A - lambda I)^2 - B^2)
Aqui, assumimos que A e B comutam, o que geralmente acontece nesse contexto.

Passo 5

Agora, simplificamos a expressão dentro do determinante:
(A - lambda I)^2 - B^2 = (A + B - lambda I)(A - B - lambda I)
Isso é uma diferença de quadrados: X^2 - Y^2 = (X + Y)(X - Y), onde X = A - lambda I e Y = B.

Passo 6

Portanto, o determinante fica:
det(C - lambda I) = det(A + B - lambda I) cdot det(A - B - lambda I)
Para que esse produto seja zero, pelo menos um dos determinantes deve ser zero.

Passo 7

Então, temos que:
  1. det(A + B - lambda I) = 0, ou
  2. det(A - B - lambda I) = 0
Isso significa que os autovalores lambda de C são os autovalores de A + B e de A - B.

Resposta

Os autovalores da matriz C são exatamente os autovalores de A + B e de A - B.

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