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Sejam
. Mostre que os autovalores da matriz de blocos
são exatamente os autovalores simultâneon de
e
.
Sejam
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que os autovalores da matriz de blocos
são exatamente os autovalores de
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como autovalores, matrizes block e propriedades de determinantes. Precisaremos entender como manipular matrizes em blocos e relacionar seus autovalores com os de suas submatrizes.
Passo 2
Primeiro, lembra que para encontrar os autovalores de uma matriz, a gente resolve a equação característica:
. Onde
é o autovalor e
é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos montar a matriz
. Como
é uma matriz de blocos
, a identidade
também será expandida para blocos. Então temos:
Passo 4
Para calcular o determinante dessa matriz de blocos, usamos a fórmula do determinante para matrizes block, que, quando as matrizes diagonais comutam com as fora da diagonal, fica:
Aqui, assumimos que
e
comutam, o que geralmente acontece nesse contexto.
Passo 5
Agora, simplificamos a expressão dentro do determinante:
Isso é uma diferença de quadrados:
, onde
e
.
Passo 6
Portanto, o determinante fica:
Para que esse produto seja zero, pelo menos um dos determinantes deve ser zero.
Passo 7
Então, temos que:
-
, ou -
Isso significa que os autovalores
de
são os autovalores de
e de
.
Resposta
Os autovalores da matriz
são exatamente os autovalores de
e de
.
Exercícios relacionados
Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de
em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(g) .
(g)
Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de
em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(b) .
(b)
Em cada item abaixo, encontrar uma base para os subespaços
a) .
b) .
c) .
d) .
a)
b)
c)
d)
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Seja tal que qualquer
é um autovetor de
. Mostre que
, para algum
.
Seja