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Sejam . Mostre que os autovalores da matriz de blocos
são exatamente os autovalores simultâneon de e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que os autovalores da matriz de blocos
são exatamente os autovalores de e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como autovalores, matrizes block e propriedades de determinantes. Precisaremos entender como manipular matrizes em blocos e relacionar seus autovalores com os de suas submatrizes.

Passo 2

Primeiro, lembra que para encontrar os autovalores de uma matriz, a gente resolve a equação característica: . Onde é o autovalor e é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a matriz . Como é uma matriz de blocos , a identidade também será expandida para blocos. Então temos:

Passo 4

Para calcular o determinante dessa matriz de blocos, usamos a fórmula do determinante para matrizes block, que, quando as matrizes diagonais comutam com as fora da diagonal, fica:
Aqui, assumimos que e comutam, o que geralmente acontece nesse contexto.

Passo 5

Agora, simplificamos a expressão dentro do determinante:
Isso é uma diferença de quadrados: , onde e .

Passo 6

Portanto, o determinante fica:
Para que esse produto seja zero, pelo menos um dos determinantes deve ser zero.

Passo 7

Então, temos que:
  1. , ou
Isso significa que os autovalores de são os autovalores de e de .

Resposta

Os autovalores da matriz são exatamente os autovalores de e de .

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Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(g) .
Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(b) .
Em cada item abaixo, encontrar uma base para os subespaços
a) .
b) .
c) .
d) .
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Seja tal que qualquer é um autovetor de . Mostre que , para algum .