Em cada item abaixo, encontrar uma base para os subespaços
a) .
b) .
c) .
d) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma base para os subespaços , , e dentro de . A matéria que vamos usar aqui envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais, base de um subespaço, interseção e soma de subespaços. Para resolver, vamos precisar entender como identificar uma base para cada um desses subespaços usando combinações lineares e propriedades de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são e . Temos:
Esses conjuntos são geradores dos subespaços e respectivamente. Nosso objetivo é verificar se esses vetores formam uma base ou se precisamos simplificar para encontrar uma base menor.

Passo 3

Vamos começar identificando uma base para . Para isso, precisamos verificar se os vetores que geram são linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro.
Olhando para :
Claramente, não pode ser obtido multiplicando por algum escalar, e vice-versa. Portanto, os vetores são linearmente independentes e já formam uma base para .

Passo 4

Agora, vamos para . Temos os vetores:
Assim como em , esses dois vetores também são linearmente independentes, pois nenhum pode ser escrito como múltiplo do outro. Portanto, eles também formam uma base para .

Passo 5

Vamos encontrar , que é a interseção dos subespaços e . Ou seja, queremos todos os vetores que pertencem tanto a quanto a .
Para isso, buscamos soluções para:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, . Plugando nas outras, vemos que .
Portanto, os vetores na interseção são da forma . O único vetor que satisfaz todas as condições é o vetor zero, ou seja, . Logo, a interseção só contém o vetor nulo, e uma base para é o conjunto vazio.

Passo 6

Por último, vamos encontrar , que é a soma dos subespaços e . Isso significa todos os vetores que podem ser escritos como soma de um vetor de e um vetor de .
Vamos somar os geradores de e :
Precisamos verificar a independência linear desses vetores. Observamos que nenhum deles pode ser expresso como combinação linear dos outros, então eles são linearmente independentes. Mas como estamos em , só precisamos de três vetores para formar uma base. Podemos escolher, por exemplo:
Portanto, essa é uma base para .

Resposta

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2
Sejam . Mostre que os autovalores da matriz de blocos
são exatamente os autovalores simultâneon de e .
Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(g) .
14
Seja tal que qualquer é um autovetor de . Mostre que , para algum .
Dados os pontos e e o vetor , calcular:
Calcule .