Em cada item abaixo, encontrar uma base para os subespaços U, W, U cap W e U+W
a) U=[(1,0,0),(1,1,1)], W=[(0,1,0),(0,0,1)], V=R^3.
b) U=(x, y, z) in R^3 mid x+y=0, W=[(1,3,0),(0,4,6)], V=R^3.
c) U=A in M2(R) mid A=A^T, W=[[ll1 & 1 0 & 1]], V=M2(R).
d) U=[t^3+4 t^2-t+3, t^3+5 t^2+5,3 t^3], W=[t^3+4 t^2, t-1,1], V=P3(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma base para os subespaços , , e dentro de . A matéria que vamos usar aqui envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais, base de um subespaço, interseção e soma de subespaços. Para resolver, vamos precisar entender como identificar uma base para cada um desses subespaços usando combinações lineares e propriedades de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são U = (1,0,0), (1,1,1) e W = (0,1,0), (0,0,1) . Temos:
Esses conjuntos são geradores dos subespaços e respectivamente. Nosso objetivo é verificar se esses vetores formam uma base ou se precisamos simplificar para encontrar uma base menor.

Passo 3

Vamos começar identificando uma base para (1,0,0) e (1,1,1) . Para isso, precisamos verificar se os vetores que geram são linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro.
Olhando para :
Claramente, não pode ser obtido multiplicando por algum escalar, e vice-versa. Portanto, os vetores são linearmente independentes e já formam uma base para .

Passo 4

Agora, vamos para (0,1,0) e (0,0,1) . Temos os vetores:
Assim como em , esses dois vetores também são linearmente independentes, pois nenhum pode ser escrito como múltiplo do outro. Portanto, eles também formam uma base para .

Passo 5

Vamos encontrar a(1,0,0) + b(1,1,1) = c(0,1,0) + d(0,0,1) , que é a interseção dos subespaços a + b = 0 (componente x) e b = c (componente y) . Ou seja, queremos todos os vetores que pertencem tanto a b = d (componente z) quanto a .
Para isso, buscamos soluções para:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, . Plugando nas outras, vemos que .
Portanto, os vetores na interseção são da forma . O único vetor que satisfaz todas as condições é o vetor zero, ou seja, . Logo, a interseção só contém o vetor nulo, e uma base para é o conjunto vazio.

Passo 6

Por último, vamos encontrar (1,0,0) + (0,1,0) = (1,1,0) , que é a soma dos subespaços (1,0,0) + (0,0,1) = (1,0,1) e (1,1,1) + (0,1,0) = (1,2,1) . Isso significa todos os vetores que podem ser escritos como soma de um vetor de (1,1,1) + (0,0,1) = (1,1,2) e um vetor de (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1) .
Vamos somar os geradores de e :
Precisamos verificar a independência linear desses vetores. Observamos que nenhum deles pode ser expresso como combinação linear dos outros, então eles são linearmente independentes. Mas como estamos em , só precisamos de três vetores para formar uma base. Podemos escolher, por exemplo:
Portanto, essa é uma base para .

Resposta

&Base de U: , (1,0,0), (1,1,1) , &Base de W: , (0,1,0), (0,0,1) , &Base de U cap W: , (apenas o vetor nulo) &Base de U + W: , (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1) ,

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