Em cada item abaixo, encontrar uma base para os subespaços
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma base para os subespaços
,
,
e
dentro de
. A matéria que vamos usar aqui envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais, base de um subespaço, interseção e soma de subespaços. Para resolver, vamos precisar entender como identificar uma base para cada um desses subespaços usando combinações lineares e propriedades de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são
e
. Temos:
Esses conjuntos são geradores dos subespaços
e
respectivamente. Nosso objetivo é verificar se esses vetores formam uma base ou se precisamos simplificar para encontrar uma base menor.
Passo 3
Vamos começar identificando uma base para
. Para isso, precisamos verificar se os vetores que geram
são linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro.
Olhando para
:
Claramente,
não pode ser obtido multiplicando
por algum escalar, e vice-versa. Portanto, os vetores são linearmente independentes e já formam uma base para
.
Passo 4
Agora, vamos para
. Temos os vetores:
Assim como em
, esses dois vetores também são linearmente independentes, pois nenhum pode ser escrito como múltiplo do outro. Portanto, eles também formam uma base para
.
Passo 5
Vamos encontrar
, que é a interseção dos subespaços
e
. Ou seja, queremos todos os vetores que pertencem tanto a
quanto a
.
Para isso, buscamos soluções para:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação,
. Plugando nas outras, vemos que
.
Portanto, os vetores na interseção são da forma
. O único vetor que satisfaz todas as condições é o vetor zero, ou seja,
. Logo, a interseção só contém o vetor nulo, e uma base para
é o conjunto vazio.
Passo 6
Por último, vamos encontrar
, que é a soma dos subespaços
e
. Isso significa todos os vetores que podem ser escritos como soma de um vetor de
e um vetor de
.
Vamos somar os geradores de
e
:
Precisamos verificar a independência linear desses vetores. Observamos que nenhum deles pode ser expresso como combinação linear dos outros, então eles são linearmente independentes. Mas como estamos em
, só precisamos de três vetores para formar uma base. Podemos escolher, por exemplo:
Portanto, essa é uma base para
.
Resposta
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2
Sejam . Mostre que os autovalores da matriz de blocos
Sejam
são exatamente os autovalores simultâneon de
e
.
Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de
em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(g) .
(g)
14
Seja tal que qualquer
é um autovetor de
. Mostre que
, para algum
.
Seja
Dados os pontos
e
e o vetor
, calcular:
Calcule .
Calcule