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Seja o espaço vetorial das funções reais de variável real. Mostre que são subespaço de .
a) ; fé contínua
Passo 1
Tudo bem! Vamos resolver essa questão juntos. O enunciado pede para mostrarmos que é um subespaço do espaço vetorial . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre o que define um subespaço vetorial. Precisamos verificar algumas propriedades básicas para garantir que seja realmente um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é considerado um subespaço se:
O vetor zero de está em .
Se e estão em , então também está em .
Se está em e é um escalar, então também está em .
Vamos verificar essas três propriedades para .
Passo 3
1. O vetor zero está em :
O vetor zero no espaço é a função para todo . Essa função é contínua porque não apresenta quebras ou saltos. Portanto, está em .
2. Fechamento sob adição:
Vamos pegar duas funções contínuas e em . A soma também é contínua, já que a soma de funções contínuas é contínua. Assim, está em .
3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Agora, vamos pegar uma função contínua em e um escalar . A função também é contínua, pois a multiplicação de uma função contínua por um escalar mantém a continuidade. Portanto, está em .
Resposta
Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que é realmente um subespaço do espaço vetorial .