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Seja
o espaço vetorial das funções reais de variável real. Mostre que são subespaço de
.
a)
; fé contínua
Seja
a)
Passo 1
Tudo bem! Vamos resolver essa questão juntos. O enunciado pede para mostrarmos que
é um subespaço do espaço vetorial
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre o que define um subespaço vetorial. Precisamos verificar algumas propriedades básicas para garantir que
seja realmente um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é considerado um subespaço se:
- O vetor zero de
está em . - Se
e estão em , então também está em . - Se
está em e é um escalar, então também está em .
Vamos verificar essas três propriedades para
.
Passo 3
1. O vetor zero está em
:
O vetor zero no espaço
é a função
para todo
. Essa função é contínua porque não apresenta quebras ou saltos. Portanto,
está em
.
2. Fechamento sob adição:
Vamos pegar duas funções contínuas
e
em
. A soma
também é contínua, já que a soma de funções contínuas é contínua. Assim,
está em
.
3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Agora, vamos pegar uma função contínua
em
e um escalar
. A função
também é contínua, pois a multiplicação de uma função contínua por um escalar mantém a continuidade. Portanto,
está em
.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é realmente um subespaço do espaço vetorial
.