Mostre que o espaço
é soma direta dos subespaços
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que o espaço tridimensional
é uma soma direta dos subespaços
e
. Aqui, estamos lidando com o conteúdo de álgebra linear, especificamente com subespaços vetoriais e soma direta. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma soma direta de subespaços e verificar duas condições importantes: que todo vetor em
pode ser escrito como a soma de um vetor de
e outro de
, e que a interseção de
e
contém apenas o vetor zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os subespaços dados:
-
é o conjunto de todos os vetores em onde apenas a primeira coordenada pode variar. -
é o conjunto de todos os vetores onde as duas primeiras coordenadas podem variar, mas a primeira é sempre zero.
Isso significa que
é uma linha ao longo do eixo x, e
é um plano que inclui os eixos y e z.
Passo 3
Agora, vamos verificar se todo vetor em
pode ser escrito como a soma de um vetor de
e outro de
. Seja um vetor qualquer
. Precisamos encontrar vetores
e
tais que:
Como
, podemos escrever
. E como
, podemos escrever
. Assim:
Viu só? Qualquer vetor em
pode ser decomposto dessa forma.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda condição: a interseção de
e
deve conter apenas o vetor zero. Ou seja, queremos mostrar que:
Vamos supor que haja um vetor que está tanto em
quanto em
. Então, esse vetor deve ser da forma
e também da forma
. Igualando as duas formas:
Isso implica que
,
e
. Portanto, o único vetor comum a
e
é o vetor zero.
Resposta
Concluímos que todo vetor em
pode ser escrito como a soma de um vetor de
e outro de
, e que a única interseção entre
e
é o vetor zero. Portanto, o espaço
é soma direta dos subespaços
e
.