Mostre que o espaço é soma direta dos subespaços

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que o espaço tridimensional é uma soma direta dos subespaços e . Aqui, estamos lidando com o conteúdo de álgebra linear, especificamente com subespaços vetoriais e soma direta. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma soma direta de subespaços e verificar duas condições importantes: que todo vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor de e outro de , e que a interseção de e contém apenas o vetor zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os subespaços dados:
  • é o conjunto de todos os vetores em onde apenas a primeira coordenada pode variar.
  • é o conjunto de todos os vetores onde as duas primeiras coordenadas podem variar, mas a primeira é sempre zero.
Isso significa que é uma linha ao longo do eixo x, e é um plano que inclui os eixos y e z.

Passo 3

Agora, vamos verificar se todo vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor de e outro de . Seja um vetor qualquer . Precisamos encontrar vetores e tais que:
Como , podemos escrever . E como , podemos escrever . Assim:
Viu só? Qualquer vetor em pode ser decomposto dessa forma.

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda condição: a interseção de e deve conter apenas o vetor zero. Ou seja, queremos mostrar que:
Vamos supor que haja um vetor que está tanto em quanto em . Então, esse vetor deve ser da forma e também da forma . Igualando as duas formas:
Isso implica que , e . Portanto, o único vetor comum a e é o vetor zero.

Resposta

Concluímos que todo vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor de e outro de , e que a única interseção entre e é o vetor zero. Portanto, o espaço é soma direta dos subespaços e .

Exercícios relacionados

Dada a matriz bases de e respectivamente, calcule a transformaçāo linear associada: . Calcule .
Sejam e matrizes inversíveis tais que e . Sabendo-se que , então o determinante de é igual a:
e.
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Seja o espaço vetorial das funções reais de variável real. Mostre que são subespaço de .
a) ; fé contínua
Dada por em que as bases e , calcule a matriz associada.