Mostre que o espaço R^3 é soma direta dos subespaços
U=(x, 0,0) mid x in R e W=0, y, z) mid y, R

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que o espaço tridimensional R^3 é uma soma direta dos subespaços U e W. Aqui, estamos lidando com o conteúdo de álgebra linear, especificamente com subespaços vetoriais e soma direta. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma soma direta de subespaços e verificar duas condições importantes: que todo vetor em R^3 pode ser escrito como a soma de um vetor de U e outro de W, e que a interseção de U e W contém apenas o vetor zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os subespaços dados:
  • U = (x, 0, 0) mid x in R é o conjunto de todos os vetores em R^3 onde apenas a primeira coordenada pode variar.
  • W = (0, y, z) mid y, z in R é o conjunto de todos os vetores onde as duas primeiras coordenadas podem variar, mas a primeira é sempre zero.
Isso significa que U é uma linha ao longo do eixo x, e W é um plano que inclui os eixos y e z.

Passo 3

Agora, vamos verificar se todo vetor em R^3 pode ser escrito como a soma de um vetor de U e outro de W. Seja um vetor qualquer (a, b, c) in R^3. Precisamos encontrar vetores u in U e w in W tais que:
(a, b, c) = u + w
Como u in U, podemos escrever u = (a, 0, 0). E como w in W, podemos escrever w = (0, b, c). Assim:
u + w = (a, 0, 0) + (0, b, c) = (a + 0, 0 + b, 0 + c) = (a, b, c)
Viu só? Qualquer vetor em R^3 pode ser decomposto dessa forma.

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda condição: a interseção de U e W deve conter apenas o vetor zero. Ou seja, queremos mostrar que:
U cap W = 0
Vamos supor que haja um vetor que está tanto em U quanto em W. Então, esse vetor deve ser da forma (x, 0, 0) e também da forma (0, y, z). Igualando as duas formas:
(x, 0, 0) = (0, y, z)
Isso implica que x = 0, y = 0 e z = 0. Portanto, o único vetor comum a U e W é o vetor zero.

Resposta

Concluímos que todo vetor em R^3 pode ser escrito como a soma de um vetor de U e outro de W, e que a única interseção entre U e W é o vetor zero. Portanto, o espaço R^3 é soma direta dos subespaços U e W.

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