Dada a matriz bases de e respectivamente, calcule a transformaçāo linear associada: . Calcule .

Passo 1

Beleza, então vamos lá! A gente tem uma matriz e duas bases: para e para . Nosso objetivo aqui é calcular a transformação linear que vai de para usando essa matriz . E, no final, a gente também vai calcular .
Para resolver isso, vamos precisar entender como as transformações lineares funcionam com matrizes e bases diferentes. Vamos seguir passo a passo para facilitar a compreensão!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é determinada pela matriz nas bases dadas. Isso significa que a matriz nos diz como os vetores da base são transformados na base .
Aqui, é uma matriz , já que estamos indo de um espaço de dimensão 2 ( ) para um de dimensão 3 ( ). As colunas de correspondem às imagens dos vetores da base na base .

Passo 3

Vamos identificar as imagens dos vetores da base através da matriz . A base tem dois vetores: e .
A primeira coluna de , que é , representa a imagem de na base . A segunda coluna, , representa a imagem de na base .

Passo 4

Vamos escrever essas imagens em termos dos polinômios da base .
Para :
Para :

Passo 5

Agora, temos que expressar qualquer polinômio em como combinação linear dos vetores da base . Por exemplo, o polinômio pode ser escrito como:
Resolvendo:
Comparando os coeficientes:
Então, e .

Passo 6

Agora, aplicamos a transformação ao polinômio . Como já encontramos que , usamos as imagens que calculamos anteriormente:
Substituindo os valores:

Resposta

A transformação linear aplicada ao polinômio resulta em:

Exercícios relacionados

Sejam e matrizes inversíveis tais que e . Sabendo-se que , então o determinante de é igual a:
e.
Se possível, resolva a equação matricial: , onde é uma coluna e:
(a) e
(b) e
Mostre que o espaço é soma direta dos subespaços
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Seja o espaço vetorial das funções reais de variável real. Mostre que são subespaço de .
a) ; fé contínua