Dada a matriz bases de e respectivamente, calcule a transformaçāo linear associada: . Calcule .
Passo 1
Beleza, então vamos lá! A gente tem uma matriz e duas bases: para e para . Nosso objetivo aqui é calcular a transformação linear que vai de para usando essa matriz . E, no final, a gente também vai calcular .
Para resolver isso, vamos precisar entender como as transformações lineares funcionam com matrizes e bases diferentes. Vamos seguir passo a passo para facilitar a compreensão!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é determinada pela matriz nas bases dadas. Isso significa que a matriz nos diz como os vetores da base são transformados na base .
Aqui, é uma matriz , já que estamos indo de um espaço de dimensão 2 () para um de dimensão 3 (). As colunas de correspondem às imagens dos vetores da base na base .
Passo 3
Vamos identificar as imagens dos vetores da base através da matriz . A base tem dois vetores: e .
A primeira coluna de , que é , representa a imagem de na base . A segunda coluna, , representa a imagem de na base .
Passo 4
Vamos escrever essas imagens em termos dos polinômios da base .
Para :
Para :
Passo 5
Agora, temos que expressar qualquer polinômio em como combinação linear dos vetores da base . Por exemplo, o polinômio pode ser escrito como:
Resolvendo:
Comparando os coeficientes:
Então, e .
Passo 6
Agora, aplicamos a transformação ao polinômio . Como já encontramos que , usamos as imagens que calculamos anteriormente:
Substituindo os valores:
Resposta
A transformação linear aplicada ao polinômio resulta em: