Dada a matriz bases de P1(R) e P2(R) respectivamente, calcule a transformaçāo linear associada: TA: P1(R) longrightarrow P2(R). Calcule T(2+3 t).
Passo 1
Beleza, então vamos lá! A gente tem uma matriz 1 & -1 -2 & 3 0 & 4 e duas bases: para e para . Nosso objetivo aqui é calcular a transformação linear que vai de para usando essa matriz . E, no final, a gente também vai calcular .
Para resolver isso, vamos precisar entender como as transformações lineares funcionam com matrizes e bases diferentes. Vamos seguir passo a passo para facilitar a compreensão!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é determinada pela matriz nas bases dadas. Isso significa que a matriz nos diz como os vetores da base são transformados na base .
Aqui, é uma matriz , já que estamos indo de um espaço de dimensão 2 () para um de dimensão 3 (). As colunas de correspondem às imagens dos vetores da base na base .
Passo 3
Vamos identificar as imagens dos vetores da base 1 -2 0 através da matriz -1 3 4. A base tem dois vetores: e .
A primeira coluna de , que é , representa a imagem de na base . A segunda coluna, , representa a imagem de na base .
Agora, temos que expressar qualquer polinômio em 2 + 3t = a cdot 1 + b cdot (1 + t) como combinação linear dos vetores da base 2 + 3t = a + b + b t . Por exemplo, o polinômio a + b = 2 b = 3 pode ser escrito como:
Resolvendo:
Comparando os coeficientes:
Então, e .
Passo 6
Agora, aplicamos a transformação TA(2 + 3t) = -1 cdot TA(1) + 3 cdot TA(1 + t) ao polinômio TA(2 + 3t) = -1 cdot (-1 + 2t) + 3 cdot (6 - 3t + 4t^2) . Como já encontramos que = (1 - 2t) + (18 - 9t + 12t^2) , usamos as imagens que calculamos anteriormente:
= 1 - 2t + 18 - 9t + 12t^2
Substituindo os valores:
= 19 - 11t + 12t^2
Resposta
A transformação linear TA(2 + 3t) = 19 - 11t + 12t^2 aplicada ao polinômio resulta em: